中国剰余定理について。

質問

以下の画像についての証明をご教授願いたいです。すみません。n1とn2は互いに素ではありません。

回答No.21

f272 · ベストアンサー

https://okwave.jp/qa/q9823391.html#answers
の#24の補足でも同じことを聞いているよね。同じことを繰り返さないでください。

回答No.10

f272

意味が分からないと言っているのに，なぜ同じことを繰り返すのですか？何の説明にもなっていません。結局，何が成り立たないと言いたいのかよくわからないのだが。
n1とn2が互いに素でないとき，a1=a2でなければx≡a1(mod n1)かつx≡a2(mod n2)を同時に満足するxは0≦x<lcm(n1,n2)の範囲には存在しない
ということを言いたいのだろうか？そうであるなら，最初にあなたが書いた通りa1≡a2(mod gcd(n1,n2))であれば，xは必ず1つ存在します。

補足

そうです。それが言いたかったのです。法が互いに素でない時、余りが、a1 ＝a2 でなくても解xが
存在するということでしょうか？余りが、法より小さければ、（割り切れる場合を除く)
x≡0（mod 3)、x≡3（mod 9)ような例外を除いて、x≡ 1（mod 3)、x≡ 1（mod 9)など余りが同じにならなければならないということでしょうか？ご教授願いたいです。すみません。

回答No.9

f272

> 余りは、最小公倍数未満の余りであれば、成り立つということでしょうか？

余りは...成り立つ，とはどういう意味があるのか？言いたいことが全然わからない。

補足

解xの範囲が、0≦x＜9の範囲の場合、余りは同じでなければ、法が互いに素でない場合には成り立たないということでしょうか？これは、例えば、最小公倍数が9である場合です。ご教授願いたいです。すみません。

回答No.8

f272

> なぜ、あなたは、実際にこれは間違いだし。と言ったのは何が間違いと言いたかったのでしょうか？

すでに#4で言いました。

補足

つまり、法が互いに素でない場合は、余りは、最小公倍数未満の余りであれば、成り立つということでしょうか？ご教授願いたいです。すみません。

回答No.7

f272

> xの範囲がその範囲に解があるから、3の倍数で、9未満であるxの条件を考えていたのです

どうして3の倍数を考えるの？その考えはどこから来るんだろう？

x≡2 (mod3)と、x≡2 (mod 9)であれば，0以上9未満ではx=2
x≡ 1（mod 3)とx≡ 1（mod 9)であれば，0以上9未満ではx=1

それで，a1=a2の場合ばかりを考えているのはなぜ？
a1≡a2 (mod gcm(n1,n2)) の意味を分かっているの？

補足

すみません。なぜ、あなたは、実際にこれは間違いだし。と言ったのは何が間違いと言いたかったのでしょうか？ご教授願いたいです。すみません。

回答No.6

f272

n1=3，n2=9であって，a1=a2=6であれば
x≡6(mod 3)，x≡6(mod 9)を満たすxは0≦x<9の範囲では6です。
n1=3，n2=9であって，a1=a2=3であれば
x≡3(mod 3)，x≡3(mod 9)を満たすxは0≦x<9の範囲では3です。

でも，結局のところ「0以上9未満の数は、3、6がありますが」で何を言いたいのかがわからなかったね。実際にこれは間違いだし。

補足

実際にこれが間違いというのは、どういうことでしょうか？
0以上9未満というのは、xの範囲がその範囲に解があるから、3の倍数で、9未満であるxの条件を考えていたのです。もし、それが、3、6で、2個あると考えると、連立合同方程式の解xを持つものが、2つできるということではないかと思ったのです。例えば、x≡2 (mod3)と、x≡2 (mod 9)
とx≡ 1（mod 3)とx≡ 1（mod 9)の解は存在するみたいな感じで。ご教授願いたいです。すみません。

回答No.5

f272

#3では「もし、法が3と9であれば」と言っていたのに，#4では「最初の画像の、a1,a2 に、3と9を代入している」と言っています。本当に何を考えているのでしょう？
最初の画像で，出てくる変数はa1,a2,n1,n2がありますが，それぞれ何を想定しているのですか？

補足

n1＝3で、n2 ＝9で、xの範囲が、0≦x＜9となりますよね？で、a1 ＝6、a2 ＝6で、解xは、
6ということでしょうか？また、a1 ＝3、a2 ＝3の時は、解xは、3でいいのでしょうか？ご教授願いたいです。すみません。

回答No.4

f272

> 0以上9未満の数は、3、6がありますが

0，1，2，3，4，5，6，7，8がありますよ。何を考えているの？

お礼

すみません。3と9でした。失礼いたしました。

補足

最初の画像の、a1,a2 に、3と9を代入しているのです。2と4もそうです。ご教授願いたいです。すみません。で、0≦x＜9の中に、3と6があり、0≦x＜4の中に、2 で、唯一の解なのに、なぜ、3と6
2つが、出てくるのか疑問なのです。これについてもご教授願いたいです。すみません。

回答No.3

f272

https://mathtrain.jp/remainder
にも書いてあるし，既に https://okwave.jp/qa/q9823391.html の#1にも書いたよね。

補足

もし、法が3と9であれば、3と9の最小公倍数を考えて、9となるのですが、0以上9未満の数は、3、6がありますが、これは何を意味するのでしょうか？後、法が2と4ならば、0以上4未満で、
2 だけなのですが。これも何を意味するのでしょうか？ご教授願いたいです。すみません。

回答No.2

f272

x'は連立合同式を満たすのですから，x'をlcm(n1,n2)で割った余りであるxも連立合同式を満たします。またlcm(n1,n2)で割った余りなのだから，xが0以上 lcm(n1,n2)であることとも当然です。

> なぜ、互いに素でないのに、一次不定方程式が成り立つ

一次不定方程式ってどの式のことを言ってるの？
「n1X+n2Y=a2－a1 を満たす整数 X,Y が存在する」というときの一次不定方程式であれば，既に https://okwave.jp/qa/q9823391.html の#1に書いたよね。

補足

では、左から右の時なぜ成り立つのかをご教授願いたいです。すみません。

回答No.1

f272

あなたが示していた
https://mathtrain.jp/remainder
に証明の概略があるが，それで何がわからんの？

補足

x｀をlcm（n1,n2)割った余りをxとすれば、左側の条件を満たすことと、なぜ、互いに素でないのに、一次不定方程式が成り立つのでしょうか？ご教授願いたいです。すみません。