任意の自然数m,nについてm^2+n^2=p^2+q^2を満たすような
任意の自然数m,nについてm^2+n^2=p^2+q^2を満たすような正の有理数p,qは
以前の質問↓
http://okwave.jp/qa/q6158436.html
の際に、a^2+b^2=c^2≠0を満たす整数a,b,cを用いて
p=(am+bn)/c, q=(an-bm)/c
と表せることを教えていただきました。
これにより求められたp,qは一般には整数ではないですが
m=(ap-bq)/c, n=(bp+aq)/c
が成り立ちます。
このことから思ったのですが、x,yが“キリの悪い有理数”のとき
a,b,cを上手く選んでやれば
p=(ax-by)/c, q=(ax+by)/c
により“よりキリの良い有理数”になると思います。
全てのx,yの組み合わせでは不可能かもしれませんが
可能な組み合わせだった場合、x,yが与えられたときに
a,bをどのようにして選べば良いのでしょうか?
※ここで“キリの悪い有理数”とは、
有理数を互いに素な整数を用いた分数で表したときに
素因数が分母にたくさん含まれている数を指すこととします。
“よりキリの良い有理数”とは同様に分母に含まれる
素因数の種類が“キリの悪い有理数”より少ないものとします。
お礼
円筒の内側が鏡になっているとして光の細いビームを照射することを想定します。内角を連続的に変化させてnは2と0以外は実現できませんか。整数でないものもマイナスでも。内角をy、nをｘにして双曲線のグラフを描きます。いわゆる星形は２＜n＜３のどこかにありますね。ｘを2に近づけるほど細い針のような内角を持った正n角形ができませんか。ｘを負数にしてもそれぞれ対応する正n角形が描けると思います。この場合の内角の定義は分かりませんが・・・・。
補足
最近、物理量と数字の違いを考えるようにご教示いただいたので思い出して同じような質問をしました。用語の定義も誤った理解が多くて恐縮です。