逆関数

質問

申し訳ありませんが、以下の方程式をxについての式に変換したいのですが、どうしてもできません。

どうかお力添えいただけませんでしょうか？

y=f(x)=x^a+bx

a,b:任意の定数
x:変数

よろしくお願い致します。

回答No.8

noname#101087

>a=2.5 b=0.3で y=f(x)=x^2.5+0.3x .....

数値計算の試行例だけでも。(xo = 0, Excel 単長桁)

・Newton
　dy = {2.5x^(1.5) + 0.3d}dx
10 回で収束。

・逐次代入
　x = (1 - 0.3x)^(1/2.5)　の不動点
20 回で収束。

回答No.7

oyaoya65

>y=x^2.5+0.3x
はx≧0で互いに一価関数の関係にありますので、逆関数は存在しますが
初等関数で表せないだけです。

方法として３つの解決法があります。
方法１）逆関数の近似式をつくることです。
　例）パデ近似とか3次スプライン補完近似など
方法２）ニュウトン=ラプソン法で数値計算をする方法
　例）y=1の時のxを求める
　　　x^2.5+0.3x=1
数式処理ソフトwxMaximaで解ける。
　　　newton(x^2.5+0.3*x-1,x,1,10^(-8));
方法３）計算サイトを使って数値計算する。

　例) MathematicaAlpha
x^2.5+0.3x=1
http://www.wolframalpha.com/input/?i=resolve%28x%5E2.5%2B0.3*x%3D1%2Cx%29
計算結果　x=0.884027

回答No.6

nag0720

y=f(x)=x^2.5+0.3x
y-0.3x=x^2.5
y^2-0.6xy+0.09x^2=x^5
と変形しても５次方程式ですから、これを解くのは難しいでしょうね。

質問の意図が分からないのですが、
もし、yの値が分かっているときにxの値を知りたいというのであれば、逆関数の式が分からなくても、数値計算で求めることができます。
それではだめなのでしょうか。

補足

厳密解が厳しいのであれば、数値計算でも大丈夫です。

その際は対数変換して回帰計算を行えばいいのでしょうか？

回答No.5

sanori

再びお邪魔します。
細かいことですが、訂正です。

与式は、
ｘ（ｘ^(a-1)　＋　ｂ）
と因数分解できるので、
前回回答文の中において
「つまり、ａが５以上の整数のとき」
ではなく
「つまり、ａが６以上の整数のとき」
でした。

・・・・・・と書いている間に、
y=f(x)=x^2.5+0.3x
でしたか。
それでも、私には無理です。（笑）

回答No.4

sanori

こんばんは。

項の数が２つしかないので断言はしませんが、
たぶん、一般には変換はできないと思います。

ｙ＝０　のときを考えます。
ｙ＝０のとき、ｘ＝？　の形にしなさい、ということは、
ａ次方程式　０　＝　ｘ^a　＋　ｂｘ　の解を求めよ、
と言っているのと同じです。

ご存知とは思いますが、五次以上の方程式の解の公式は存在しません。
つまり、ａが５以上の整数のとき、
ｘ＝｛ｙの式｝
の形にするどころか、
ｘ＝｛ｙ＝０のときの値｝
にすることさえできません。

ａが整数以外の場合も無理そうです。

ご参考になりましたら幸いです。

補足

情報が乏しくて、みなさんを混乱させてしまい申し訳ありません。

a=2.5
b=0.3で

y=f(x)=x^2.5+0.3x

では、やはり少数のべき乗があるため無理ですよね？

回答No.3

sinisorsa

関数ｆの定義域をAと値域をBとしたとき、
ｆ：A→B　が全単射であるとき、逆関数が定義できる。
あなたの関数の場合、定義域、値域とも記述がないので、
A、Bとも実数全体Rと考えると、特別な場合以外は
全単射になりません。
任意のａ，ｂに対して通用する逆関数を定義することは
できません。

回答No.2

oyaoya65

任意の定数のままでは、逆関数を求めることが無理ですね。
特にx^aとべき乗項に任意の定数が入っていて、他にも任意定数を含む項があると絶望的ですね。

最もa=-1,0,1,2位でbも具体的な数値であれば何とかなるかも知れませんが...。

基本的には、yとxが1:1の対応関係（全単射の関係、互いに一価関数の関係）にないと逆関数が存在しません。

回答No.1

Ginzang

私にも不可能である。
と言うか、この形は逆関数が初等関数では書けないのではないだろうか。

もし、何かの問題を解くために逆関数が必要になるというのであれば、別の方法を探すべきである。
元々の問題があるのなら、そちらを尋ねて欲しい。