「トリビアの泉」での『123456789』云々

質問

「『123456789』は数字をどう並び替えても3で割り切れる」というトリビアで、各位の数字の和が３の倍数になっていれば３で割り切れるということですが、結論ではなく、その証明が知りたいです。
自分では式を考えることすら難しいので、教えて頂けませんか？

回答No.1

noname#181872 · ベストアンサー

ケタが増えると書くのが面倒くさくなるので、3ケタで証明します。
百の位がa、十の位がb、一の位がcの数字を考えます。
これはa+b+cは3で割り切れると仮定します。
この数字はa×100+b×10+cで表されます。
この式を変形すると、a×99+b×9+a+b+cとなります。
a×99とb×9はa,bがいくつであろうと3で割り切れますよね。
ということはこの数字が3で割り切れるためにはa+b+cが
3で割り切れればよいわけです。

今度ケタを拡張することになるのですが、千の位がdであるとすると、
999×dとdに分ければ3ケタのときと同じようにできますよね。
というわけで、何桁であろうと、各位の数字の和が3で
割り切れれば、もとの数字も3で割り切れます。

お礼

は～・・なるほど。
「a×100+b×10+c」までは考えたんですが、次の展開がわからなかったんです。漠然と考えるんじゃなく、素直にこの式を３の倍数にする方法を考えれば良かったんですね。
分かり易い説明ありがとうございました。おかげでスッキリしました