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質問

以下の条件でf のフーリエ係数a_n,b_n を計算解説お願いします

関数f を－π ≤t< 0に対し
f(t) = t + π
0 <t ≤ π に対し
f (t) = t－π で定義します
f(0) = 0とします

回答No.1

info33 · ベストアンサー

f(t) は奇関数なので
周期 T=π-(-π)=2π)として,
f(t)=a_0/2+Σ[n=1,∞] {a_n cos(nt)+b_n sin(nt)}
=Σ[n=1,∞] b_n sin(nt)
a_n=(2/T) ∫[-π~π] f(t) cos(nt) dt= 0 (n=0,1,2,3, ... )
b_n=(2/T) ∫[-π~π] f(t) sin(nt) dt=(2/π) ∫[0~π] (t-π) sin(nt) dt
=(2/π) [-(t-π)cos(nt)/n+sin(nt)/n^2][0~π]
= -2/n (n=1,2,3, ... )

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f(t)= -2sin(t) -sin(2t) -(2/3)sin(3t) -(1/2)sin(4t) -(2/5)sin(5t) - .... -(2/n)sin(nt) - ....
= -2 Σ[n=1,∞] (1/n)sin(nt)