〇〇回内に1/〇〇が当たる時の平均試行回数

質問

100回の試行で1/100の当たりを引いたときの平均試行回数

以下を求める式が分かりません

試行回数 100回
当選確率 1/100

この条件で試行回数100回以内に当たったときのみの試行回数を取り出したときの平均試行回数

この場合、平均約42回 という結果になりますが、なぜこのような値が出てくるのかが分かりません。

なお、確率を変えると以下のようになります。

試行回数 100回 当選確率 1/90
→約41回

試行回数 100回 当選確率 1/80
→約40回

試行回数 100回 当選確率 1/70
→約39回

試行回数 100回 当選確率 1/60
→約37回

試行回数 100回 当選確率 1/50
→約34.5回

試行回数 100回 当選確率 1/10000
→約51回

といった具合で規則性が分かりませんでした。よろしくお願いします。

回答No.1

f272 · ベストアンサー

当選確率をp=1/100，試行回数をn=100とすれば
(k-1)回目までは当選せず，k回目に当選する確率はp(1-p)^(k-1)
これをk=1からk=nまで足すと，n回以内にに当選する確率S=Σ[k=1 to n]p(1-p)^(k-1)がでる。
S=Σ[k=1 to n]p(1-p)^(k-1)
S+p(1-p)^n
=Σ[k=1 to n+1]p(1-p)^(k-1)
=p+Σ[k=2 to n+1]p(1-p)^(k-1)
=p+(1-p)Σ[k=1 to n]p(1-p)^(k-1)
=p+(1-p)S
pS=p-p(1-p)^n
S=1-(1-p)^n
したがって試行回数n回以内に当たったときのみの試行回数を取り出したときの平均試行回数TはT=Σ[k=1 to n]kp(1-p)^(k-1)*(1/S)となる。
ST=Σ[k=1 to n]kp(1-p)^(k-1)
(1-p)ST
=Σkp(1-p)^k
=Σ[k=2 to n+1](k-1)p(1-p)^(k-1)
=Σ[k=1 to n+1](k-1)p(1-p)^(k-1)
=Σ[k=1 to n](k-1)p(1-p)^(k-1)+np(1-p)^n
=ST-S+np(1-p)^n
pST=S-np(1-p)^n
pST=1-(1-p)^n-np(1-p)^n
pST=1-(1-p)^n-n(1-p)^n+n(1-p)(1-p)^n
T=(1-(n+1)*(1-p)^n+n(1-p)^(n+1))/(pS)

お礼

ご回答ありがとうございます。
Excelで試算したところ以下のようになりましたので実測値と比べても教えて頂いた式で間違いないと思います。
1/100 → 42.26324699
1/90 → 41.37799952
1/80 → 40.28514079
1/70 → 38.90494002
1/60 → 37.11344048
1/50 → 34.71033596
1/10000 → 50.41667096