平均試行回数の求め方…

質問

考えてみたのですが、方針すら立たなくて困っています。

Q：
中身の見えない箱が無数にあります。
箱の中にはそれぞれ1～10までの数字が一つ書いてある紙が一枚ずつ入っています。どの数字も同じ確率で出るとします。
この箱を開けていって、1～10までの数字がすべて集まるまでに箱を開ける平均回数は何回でしょう？

どのように考えれば良いのかもわからずに困っています。
よろしくお願いします。

回答No.2

age_momo · ベストアンサー

m個の箱を開いたときk枚のカードがそろっている確率をP(m,k)とします。
例えば12個開いて5個そろっている確率は11個開いて4個そろっている
確率*0.6と11個開いて5個そろっている確率*0.5の和になります。
式で書くと

P(m,k)=(1.1-0.1k)P(m-1,k-1)+(1-0.1k)P(m-1,k)

具体的な確率計算は10×10の行列を考えて

[0.1　0.9　0　0　0　0　0　0　0　0]
[0　0.2　0.8　0　0　0　0　0　0　0]
[0　0　0.3　0.7　0　0　0　0　0　0]
・・・
・・・
[0　0　0　0　0　0　0　0　0.9　0.1]
[0　0　0　0　0　0　0　0　0　1]

これのべき乗にt[1　0　0　0　0　0　0　0　0　0]
をかけて計算することになりますが、先の10×10の行列の固有値はそれぞれの
対角成分ですし、全て違う値であって、更にほとんどが0ですから簡単に対角化できます。
結果としてn個開いて10個開いている確率は

P(n,10)=-C[10,1]*0.1^n +C[10,1]*0.2^n -C[10,1]*0.3^n +C[10,1]*0.4^n ・・・・-0.9^n*C[10,1] + 1

n個開いたときに丁度、10個そろう確率はP(n,10)-P(n-1,10)と考えられますので

P(n,10)-P(n-1,10)=(1-0.1)*C[10,1]*0.1^(n-1)-(1-0.2)*C[10,2]*0.2^(n-1)+・・・・・+(1-0.9)*C[10,9]*0.9^(n-1)

期待値は

Σ[k=10,∞]k{(1-0.1)*C[10,1]*0.1^(k-1)-(1-0.2)*C[10,2]*0.2^(k-1)+・・・・・+(1-0.9)*C[10,9]*0.9^(k-1)}
=Σ[k=10,∞]k{9*0.1^(k-1)-72*0.2^(k-1)+・・・・・+0.9^(k-1)}
=9*0.1^9*(10+0.1/0.9)/0.9-72*0.2^9*(10+0.2/0.8)/0.8+・・・・+0.9^9*(10+0.9/0.1)/0.1≒29.29

かなり説明を省略してしまいましたが、全体としてはこういう流れです。
検算してくださいね。

お礼

行列を考えるのは全く思いつきませんでした…
すごく参考になります。ありがとうございます。
さっそく自分でも計算してみます。

回答No.1

hiro1122

方針を書きますので参考にしてください。

ｎ回ですべて集まる確率を求めてみます。
ｎ－１回で９種類しか出現せず、ｎ回目に１０種類目が出る確率です。
まず、この９種の選び方は１０通りあり、それぞれに対し、ｎ－１回９種から選ぶと９＾（ｎ－１）通り。このうち、８種類以下しか出現しないものを除けば、１０×９＾（ｎ－１）－９×８＾（ｎ－１）
これを分子におき、分母は１０＾（ｎ－１）
ここまでがｎ－１回目まででｎ回目に最後の１種類が出るのは
　×１／１０
これでｎ回の確率がｎで表現できたので、これにｎをかけてｎ＝１０から∞までの和を求めれば良いと思います。
計算は結構面倒ですのでがんばってください。

お礼

なるほど・・・
計算はまだやっていませんが、方針が立ちました。
ありがとうございます。