くじの確率や回数

質問

ちょっとしたくじの確率というか、当たりを数回引くまでに必要な回数を知りたいのですが、
例えば下記のような場合だとどのように計算したら良いのでしょうか。
答えではなく計算式を教えてください。

全部で玉が5個あるのはあらかじめ分かっていて、
当たりは1個でハズレが4個。
それぞれは平等に1/5の確率で引けるとします。

そこで、あたりを10回引くにはおよそ平均何回引くことになるかが知りたいです。
上にも書きましたが、答えではなく計算式を教えてください。

回答No.1

DJ-Potato · ベストアンサー

平均を求めると、感覚的な当たり前の数字になります。

当たりを1回引くまでに引く玉の数を数えると、
１回；1/5
２回；4/5×1/5
３回；4/5×4/5×1/5
４回；4/5×4/5×4/5×1/5
：
ｎ回；(4/5)^(n-1)×1/5
：

これを元に、平均値を求めると、５回になります。

やり方としては、エクセルを使って
A列；１
B列；=(4/5)^(A1-1)*(1/5)
C列；=A1*B1
として、縦にコピーしていけば、ｎ回目で１個目のあたりを引く確率がB列に表示されます。
C列の値を全部合計すると、１個目の当たりを引くまでに引く玉の数の平均値が表示されます。

平均５回と言われると、５回引いたらなんとなく当たりがきそうな感じがしますが、とんでもありません。
５回までに当たりを引く確率は67％程度。
１０回引いて１回も当たりが出ない確率は、10.7％
２０回引いて１回も当たりが出ない確率は、1.15％
５０回引いて１回も当たりが出ない確率は、70000分の１程度です。

10回当たりを引くまでの平均は、単純に50回となります。
誰かが当たりを引いたら終わるゲームなら、それでいいのですが、一人で当たりが出るまでゲームを続けなければならない場合、地獄が待っています。

具体的な話をすると、
ゲームで必須アイテムが特定の敵を倒したら手に入る、という設定をして、その敵を５匹くらい倒すことを想定して、ドロップ率を20％に設定したところ、プレイヤーの７万人に１人は５０回倒しても必須アイテムが手に入らない、という絶望的な状況が待っていた、
なんてことが、実際あるんです。
さらに、５０回外れた後の５１回目に当たりがでる確率は、やはり1/5なんですよね。

お礼

エクセルのことまで具体的にありがとうございます。
お察しの通りゲーム絡みです。
蛇足ですが、狩りではなくガチャの方で、レアアイテムを欲しい数だけ得るまでに掛かるおおよその金額を知りたくて質問しました。
ありがとうございました。