積分できるのかどうか教えてください。

質問

∫[0,π](sinx)^3(sinnx)dx(nは自然数)
は手計算で求められますか？
教えてください。

回答No.3

noname#50894 · ベストアンサー

最初の頃は、根気良く次数を下げましょう。

cos(α)sin(β)=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]
sin(α)sin(β)=(1/2)[cos(α-β)-cos(α+β)]

{sin(x)}^2=(1/2){1-cos(2x)}

{sin(x)}^3=(1/2){1-cos(2x)}sin(x)
=(1/2)sin(x)-(1/2)(1/2){sin(3x)-sin(x)}
=(3/4)sin(x)-(1/4)sin(3x)

{sin(x)}^3*sin(nx)
=(3/4)sin(x)*sin(nx)-(1/4)sin(3x)*sin(nx)
=(3/4)(1/2)[cos{(n-1)x}-cos{(n+1)x}]
-(1/4)(1/2)[cos{(n-3)x}-cos{(n+3)x}]

あとは、場合分けすれば

n=1→(3/8)π
n=3→-(1/8)π
(それ以外)→0

となったと思います。…ご確認下さい。

お礼

やっぱり地道にやるしかないみたいですね。

nの値の場合分けを考えてませんでした。
解決しました。ありがとうございました。

回答No.4

KappNets

mathematica で解きました。
n=1:(3/8)*pai
n=3: -pai/8
その他はゼロではなく
6*sin(n*pai)/(n^4-10*n^2+9)
のようです。手計算はやっていませんが、多分 No.3 さんの考え方で基本的に良いのでしょう。ちなみに不定積分は
(1/8)*{-sin[(n-3)*x]/(n-3)+3*sin[(n-1)*x]/(n-1)-3*sin[(n+1)*x]/(n+1)+sin[(n+3)*x]/(n+3)}
となりました。

回答No.2

looker1986

勘違いしていました。
n=1のとき 3π/8
n=3のとき -π/8
それ以外のとき 0 のようです。
ちなみに、もし大学生でしたらsinxを指数関数で表示すれば計算できます。

回答No.1

looker1986

どの程度の知識の範囲で求めるかによりますが、
手計算で求められるかどうかといえば、それは可能です。
結果はn≠3のとき 0 、n=3のとき π となります。