曲線状の２点間の距離

質問

普通の二次元の平面で、滑らかな曲線上にPとQがあります。
Qを固定して、PをQにちかづけていったとき、
　　　曲線上のPQの長さ≒直線PQ
は何となく理解できますが、照明できるでしょうか？　曲率の定義の中でこの事実をつかっているのかなあ、と思うところがありお尋ねします。

回答No.3

tmppassenger · ベストアンサー

つまり、「曲率の定義には曲線の長さが必要だが、そもそも曲線の長さの定義は何か？」ということですかね。

一般に曲線の長さは、『その曲線を折れ線で近似した時の長さの上限(sup)』で定義することになっています。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BC%A7%E9%95%B7#%E5%AE%9A%E7%BE%A9

なので、「Qを固定して、PをQにちかづけていったとき、曲線上のPQの長さ≒直線PQ」というのは、正確な言い方ではないけど、まあ感覚的に正しい。で、例えばその曲線が滑らか、とかいう条件があると、よく知られた積分を使った式になります。

お礼

回答ありがとうございました。

回答No.2

f272

曲率とは関係なく，曲線上のPQの長さと線分PQの長さの関係と言うことであれば，曲線上のPQの長さ≒直線PQで何を証明したいの？
そもそも微分可能曲線の長さであれば，x=f(t)，y=g(t)であらわされる曲線のt=aからt=bまでの長さの定義自体がL=∫[a:b]√(f'(t)^2+g'(t)^2} dtですよね。

お礼

回答ありがとうございました。

回答No.1

f272

どんな曲率の定義を習っているのでしょう？
曲率とは，曲率半径の逆数
曲線y=f(x)の曲率半径とは(1+f'(x)^2)^(3/2)/f''(x)
とすれば紛れはないように思いますがいかが？

お礼

回答ありがとうございました。
そうなんですけど、できれば図形的に理解したかったです。