長さが一定の棒が動いてできる曲線について
<問題A>
xy平面上に2直線l,mがあり、
l:y=0
m:y=x*tan(θ)
とする(0<θ<π)。l,m上にそれぞれ点P,Qをとり、
PQ=L=(一定)
(L>0)となるようにP,Qを動かす。このときに線分PQが動いてできる領域の境界線(包絡線)を求めよ。
という問題を考えました。周知の通り、θ=π/2のときにはアステロイド(x^(2/3)+y^(2/3)=L^(2/3))となりますが、そうでない場合、どういう曲線になるか、という問題です。
自分でも考えてみたのですが、とりあえず2通りの方法を思いつきました。
(1)P,Qの座標をp,qを用いてあらわし、PQ=Lの条件の下で線分PQの包絡線を求める。
簡単そうだと思ったのですが、1変数の場合の包絡線の求め方しか知らなかったので、断念しました。PQ=Lを一方の文字について解けば1変数になりますが、それだとおぞましいことになるので…。
(2)包絡線をC:y=f(x)とおいて、C上の点(t,f(t))での接線とl,mとの交点を求め、PQ^2をt,f(t)で表し、PQ^2=L^2の両辺を微分することで微分方程式を導く。
僕はこっちでやってみました。まだ高校3年生なので微分方程式に触れたことはあまりなく、わけのわからない式になったときは戸惑いましたが、変数変換を駆使していくと案外きれいな形(y'についての(係数にx,yを含んだ)3次方程式)になりました。もちろん3次方程式でも十分恐ろしい形なのですが、y'=tという変数変換によって(x,y)のtについての媒介変数表示を得ることに成功しました。自分でも正直、微分方程式をほとんど知らない状態でここまでたどり着いたことに驚いたのですが、θ=2π/3、L=1でグラフ作成ソフト(function view)に書かせたところ、ヘニャッとした曲線が第2象限のほうに描かれて終わりでした。…いや、むしろ第1象限のほうが知りたいのですが。しかも条件を満たしてないっぽいし。かなりの計算量だったので、もう1回計算する気にもなれず、解はないのだと諦めてしまいました。(ちなみに、第1象限とかは普通の意味ではなく、l,mによって区切られた4つの領域のうち、右上のほうです。)
というわけで、なかば諦めて、2ヶ月くらいたったのですが、ふとしたきっかけで思い出して、実際にやってみたんです。棒を使って。そうすると、それっぽい曲線が描かれたので、やはり解はあるんだと確信しました。前と同じことをやっても同じ結果になりそうなので、すこし皆さんの知恵をお借りしたいと思って質問しました。
ちなみに、この問題自体は別の問題を考えていたときに出てきたものです。
<問題B>
平面上に長さが1の線分がある。この線分を1回転させる間に線分が掃く面積Sの最小値を求めよ。
たとえば一方の端を中心として回せばπとなりますが、中点の周りにまわせばπ/4となります。どのように回せば線分の掃く面積Sが最小になるか、という問題なのですが、学校の授業中に先生が雑談としてたまたまこの問題を紹介して、実はSはいくらでも0に近づけられることが証明されているそうです。問題Aは、自分で問題Bについて考えていたときに出てきたおまけのようなものつもりだったのですが、意外と手強く、苦戦してしまい、いつの間にか問題Bのことは忘れていました。でもやっぱりこっちも気になるので、どなたかSをいくらでも0に近づけられることの証明を教えていただけませんか？
質問が多くなって申し訳ないのですが、お願いします。
お礼
回答ありがとうございました。