極限の問題

質問

lim[x->∞]{xlogx/(1+x) - log(1+x)}
の求め方を教えてください。

回答No.4

tmpname · ベストアンサー

(xlogx) / (1+x) - log(1+x)
= (xlogx) / (1+x) - log x - log ((1+x) / x)
= (logx) ( x / (1+x) - 1) - log (1 + 1/x)
= - (logx) / (1+x) - log (1+1/x)
第二項はx→∞ で log(1+0) = 0に近付く。
第一項は、 x = exp(t)とおいて（t→∞）
- log(exp(t)) / (1+ exp(t))
= - t / (1+ exp(t))

0 ≦ | - t / (1+ exp(t)) | = t / (1+exp(t))
≦ t / (1 + t + (t^2) / 2) → 0であるから、
第一項も0に近づく。

よって、与式は0となる。

お礼

回答ありがとうございます。

回答No.3

gamma1854

関数を書いてあるとおりに解釈します。
f(x)=x*ln(x)/(1+x) - ln(1+x)
=ln(1 - 1/(1+x)) - (1/(1+x))*ln(x)
→ 0, (x→∞).
となります。
ーーーーーーー
負から０に近づきます。

お礼

回答ありがとうございます。
書き方が悪かったです。申し訳ないです。
正しくは
lim[x->∞]{(xlogx)/(1+x) - log(1+x)}
でした。

回答No.2

info33

lim[x->∞]{xlogx/(1+x) - log(1+x)}
=lim[x->∞]{xlogx -(1+x)log(1+x)}/(1+x)
(ロピタルの定理)
=lim[x->∞]{xlogx -(1+x)log(1+x)}' / (1+x)'
=lim[x->∞]{logx+1- log(1+x)-1}/ 1
=lim[x->∞]{logx- log(1+x)}
=lim[x->∞] log{x/(1+x)}
=lim[x->∞] log{1/(1/x+1)}
=lim[x->∞] -log(1/x+1)
= - log(1) = 0

お礼

回答ありがとうございました。

補足

回答ありがとうございます。
ロピタルの定理を使う際に
lim[x->∞]{xlogx -(1+x)log(1+x)}=∞であることを使ったと思うのですが
どのように示したのか教えてくださると助かります。

回答No.1

f272

x→∞のとき
x/(1+x)は1にほとんど等しいので，xlogx/(1+x)はlogxにほとんど等しく
log(1+x)はlogxにほとんど等しいので
lim(xlogx/(1+x) - log(1+x))=0

もし元の式がxlog(x/(1+x)) - log(1+x)という意味であれば
lim(x*ln(x/(1+x)))
=-lim(x*ln((1+x)/x))
=-lim(x*ln(1+1/x))
=-lim(ln(1+1/x)^x)
=-ln(e)
=-1
であるから
lim(xlog(x/(1+x)) - log(1+x))=-∞

お礼

回答ありがとうございます