出力P[W]で空気抵抗を受ける運動方程式

質問

出力P[W]一定で空中を加速する物体の運動方程式を求めたいと考えています。
本来ならば、プロペラ/スクリューによる推力への変換や重力加速度や揚力なども考える必要があるのでしょうが、今回は考えないものとします。

(1/2)*m*v(t)^2=(1/2)*m*v(0)^2+P*tよりP=m*v(t)*ap(t)を求めました。
空気抵抗をak(t)=(k/m)*v(t)^2とすると、加速度a(t)=ap(t)-ak(t)=P/(m*v(t))-(k/m)*v(t)^2。

ここからv(t)もしくはa(t)をtだけの関数の形にしたいのですが、よい方法はありますでしょうか？

どうか皆様のお知恵をお貸しください。

回答No.1

sat000 · ベストアンサー

空気抵抗もあるんですか。でしたら素直に運動方程式を立ててはいかがでしょうか。考え方を示します。
m(dv/dt)=F-kv または m(dv/dt)=F-kv^2
vが大きくなると速度の2乗に比例する抵抗とした方が良いと思いますが、解析的には解きにくくなります。
Fは d(1/2 mv^2)/dt = P と考えるべきかと思います。要するに運動エネルギーの増分がPに一致するとする考えです。整理すると、
d(v^2)/dt = 2v dv/dt = 2P/m
となりますから、
dv/dt=P/(mv)
従って F=mP/(mv)=P/v となって、速度が上がるほど力を受けにくくなる、つまり速度が上がりにくくなることを示しています。整理すると、
m(dv/dt)=P/v-kv^2
ですかね。t=0の時にv=0だと解きにくそうなので、もう少しFの記述に工夫がいるかもしれませんが、これを解けば良いかと。
私なら数値的に解きます。

お礼

回答ありがとうございます。

＞解析的には解きにくくなります。
＞私なら数値的に解きます。
＞t=0の時にv=0だと解きにくそう
やはり、解析的に解くのは困難ですか。

Excel EVAで数値的に解くのは一応できてますので、初期値v(0)の与え方をもう一度考え直して、数値解の方を頑張ってみようと思います。