20kHz正弦波をCDで再生するした場合 その２

質問

昨日、同タイトルで質問し理解は深まったのですが、一晩考えて、やはり釈然のしないところがあるので、再質問いたします。
20kHzを44.1kHzでサンプリングした場合、添付の図のように振幅が小さい区間（図左）と大きい区間（図右）ができると思います。
このようなデータ（信号）にLPFを掛けた場合、20kHz成分は抽出できるものの、振幅の小さいところと大きいところが繰り返し出て来てしまうと思うのですが、やはり考え違いでしょうか？
ご回答の中に、長岡鉄男氏の実験結果や正弦波信号を記録したCDのオシロ観測のお話しがあったので、何か勘違いしているのだと思いますが、素人が分かるように解説いただけると助かります。

回答No.2

wek00 · ベストアンサー

ナイキスト周波数fnぴったりの信号のサンプリング結果は位相に敏感です。観測される振幅は元信号の0～1倍となります。元の信号が忠実に再現される保障はありません。
では、周波数fがナイキスト周波数より低い場合は？
うなりのような現象が生じますが、こういう波形の信号なのだ、と捉えるるならこれは周波数fと周波数fn+(fn-f)（fnをはさんで反対側の位置。f+2*(fn-f)とも書ける）の波形の和です。こういう波形の信号なのだ、と捉えるなら（強調）、標本化定理を満たしていません。ですが、ナイキスト周波数がfnであることを考慮すれば元の信号は再現できる、はずです。例え周波数が fn-10^-12 Hzであっても。

周波数がいくらいくらの正弦波というのは無限に続くもの以外ありません。そして、そういうものを忠実に再現する処理系のレイテンシは無限大です。

現実には、フィルタにしてもDA変換機にしても局所的な観測しかせずにテキトーに（暴言）やりますから
　> 振幅の小さいところと大きいところが繰り返し出て
という評価になることもあるでしょう。

ただの標本化よりも多くのこと――有限時間の観測で概ね波の形が取れていること――を求められるような場合に、ただ標本化定理を満たすだけでは不十分じゃないの？と言われればそれはそのとおりです。

本件と関係ないかもしれませんが。

低サンプリングレートで再生したものをその何倍かのサンプリングレートで録音し周波数分布を見てみると、ソースや機材の仕様やドライバの品質設定にもよるでしょうが、大元のソースには無かったであろう対称形のものが見えたりします。

WaveGeneでナイキスト周波数近くからスイープした信号を発生させ
WaveSpectraで解析しプロットしてみると、
再生側サンプリングレート22050Hz、録音対象ステレオミキサ、録音側サンプリングレート192000Hzという条件では、10本くらいのピークが動いていきます。
（参考データ：https://www.axfc.net/u/3973871 ）

お礼

専門的かつ詳しい解説をいただき、ありがとうございます。
専門的過ぎて十分に理解はできておりませんが、サンプリングの1/2に限りなく近い周波数をAD→DA＆フィルタリングすると、振幅は０~1倍になると理解しました。これは、直感的に理解できます。
ここで、２つ質問があるのですが、よろしければ教えてください。

１）上記の場合、ホルダーを付けたフィルタリング前の波形は、最大、元波形の振幅の矩形波になるかと思います。この時、フィルタリング前の波形の基本周波数成分は１を超えると思いますが、この考えに間違えはありませんか？　もちろん、フィルタリングで１を超えなくすることは容易だと思いますが。

２）20kHzの波形を44.1kHzでサンプリングした場合にもうねりは生じると思います。フィルタの特性によって多少の違いはあるかと思いますが、このうねりの最大最小はどの程度になるのでしょうか？　作図した絵を眺めると、最小振幅は最大振幅の1/3～1/4になるような感じがします。

回答No.1

SRLeonard

＞やはり釈然のしないところがあるので、再質問いたします。

どう説明すれば、「感覚的に理解できるのか？」、「しっくり来るのか？」ということになってしまうと思うので、私なりの説明をしてみます。

まず、
＞20kHzを44.1kHzでサンプリングした場合、添付の図のように振幅が小さい区間（図左）と大きい区間（図右）ができると思います。

とのことですが、この現象はサンプリング周波数ギリギリの周波数に限らず、低周波の入力信号をサンプリングしても同様であって、単なる感覚的な程度問題だと思います。
重要なことは、「振幅が小さい区間」と「振幅が大きい区間」をランダムにサンプリングしているか？ということです。

例えば、400Hzを16Hzで振幅変調した波形（これは、電話のリングバックトーンです）を想定してみましょう。
これは、原波形自体が同一周波数でありながら波高値が変動している音源です。この波形をサンプリング周波数以上でサンプリングすれば、振幅変調のもととなる周波数の400Hzも変調周波数の16Hzも検出できます。
sin波とsin波の積は、sin波とcos波の積和で表現できます。

他方、純粋な単一周波数の入力信号をサンプリングした結果、波高値のピーク付近でサンプリングすることもあれば、振幅ゼロであることもあるわけです。

＞20kHz成分は抽出できるものの

A/D→D/A変換の際に必要なことは、以下2点だと思います。
(1)元音源の周波数を抽出すること
(2)元音源に無い周波数を抽出しないこと

あなたは、(1)の観点からサンプリング定理を理解されているようですが、(2)の視点も検討に含めたら如何かと思います。

質問分にある画像の2波長程度ではなく、もう少し長いスパンで現象を観測した方が良いと思います。

補足

ご回答ありがとうございます。

>この現象はサンプリング周波数ギリギリの周波数に限らず、低周波の入力信号をサンプリングしても同様であって、単なる感覚的な程度問題だと思います。
重要なことは、「振幅が小さい区間」と「振幅が大きい区間」をランダムにサンプリングしているか？ということです。

＞純粋な単一周波数の入力信号をサンプリングした結果、波高値のピーク付近でサンプリングすることもあれば、振幅ゼロであることもあるわけです。

上記コメントは、原波形の周波数に関わらず（もちろん、サンプリング周波数の1/2未満）、振幅の変動は存在すると理解してよろしいでしょうか？
20kHzで振幅変動があるのであれば、それ以下の周波数でも変動があるのは理解できます。但し、低周波になればなるほど変動の大きさは小さくなるはずです。

CD再生からはちょっと離れますが、仮にカットオフ周波数までは減衰せず、カットオフ周波数以上は完全に除去できる理想的なLPFがあったと仮定します。
ここで、22kHzで振幅一定の正弦波を44.1ｋHzでサンプリングした場合を想定してみました。22kHzはサンプリング定理では抽出可能な周波数の範疇です。
この場合、サンプリング（AD）したデータは、長い区間0付近にあり、＋－を繰り返しながら徐々に値は大きくなり、今度は最大振幅近傍で長く留まるということになります。
このようなサンプリングデータをDA変換し、上記仮想の理想的LPFを掛けたとしても、22kHzは抽出できるものの、長周期（22kHzに対して）の振幅変動を伴うことになり、振幅一定にはなりません。
これは、サンプリング周波数の1/2に限りなく近い波形という極端な例ですが、程度こそ違うものの、20kHzやそれ以下の周波数でも同じ現象は発生すると思うわけです。
振幅変動が±1%とか±5%以下なら実用上問題にならないとしても、図形から推測すると、20kHzではそれらを遥かに上回る変動が発生するように思う訳です。（残念ながら、数値化できる能力は持ち合わせていませんが）
この考え方は、長岡鉄男氏の実験結果や正弦波のデータを納めたCDのオシロ観測結果に反するので、何か考え違いがあるのかもしれません。
結局、同じ疑問の繰り返しになってしまい、すみません。

尚、振幅変調の話は、十分理解できませんでしたが、私の疑問は原波形が振幅一定の正弦波である場合の再現性についてです。