モンティ・ホール問題(事後確率）でモヤモヤ

質問

モンティ・ホール問題というヤツで、なぜモンティが扉を開けた後で選択を変えた方が勝率が高いのでしょうか。
（１）ABCの３つの扉があり、その内の一つが「当たり」の扉であとの２つは「外れ」の扉である。
（２）私は、ABCの扉からいずれか一つを選ぶ。
（３）私が選ばなかった２扉の内で、「当たりではない」１つの扉をモンティが開く。
（４）ここで私は選択を変更する事が出来る。
（５）扉を全て開き、当たり外れを確認する。
（補足１）モンティは外れの扉２つから開く方を選ぶときはランダムに選んで開く。

多くある解説では、最初に「当たり」の扉を選んでいる確率は1/3であるが、(4)で変更することで「当たり」の扉である確率は2/3になるから選択を変える方がお得、という説明がされていますし、プログラム組んでシミュレートしてみたら確かに変えた方が当たる可能性が倍になったなんて検証もされているようですが、やっぱりモヤモヤします。

i）私が「モンティが外れの扉を開く」ことを知っているか否かで確率が変わるのか？
前提から、「（0）モンティは必ず外れの扉を１つ開く事が確定している」という条件が導けます。つまり（２）で私が選択する段階で私が「当たり」を引く確率は1/3と捉える事自体がミスリードであり、最初から外れの一つは除外されるのが確定しているのですから当たりを選ぶ確率は1/2ではないのか。だから私が選択を変えようとそのままだろうと、私が選ぶ扉が当たりである確率は1/2のままで変わりはないのでは、とモヤモヤ。

ii）1/3＋1/3＝2/3として考えるのは正しいの？
モンティは確率1/3の扉を消すだけなので、最初選択したのが正しい可能性は1/3のままとするならば残る１つが正しい可能性もまた1/3のままと考えるべきではないのか？とモヤモヤ。

iii）4つの扉から２人が選ぶ場合は？
私とあなたが、4つの扉から1つずつ選びます。正しい扉は１つなので、確率はそれぞれ1/4です。その後、モンティが残る２つの扉の内、外れの扉を開いて見せてくれます。
さてここで我々二人は選択を変える事が出来るのですが、どうするのがいいでしょうか。なお、相手が選択を変えた場合、もう一人は最初に相手が選んでいたものに変える事も出来ます。
(1)そのまま（確率1/4）
(2)残る１つを選ぶ（確率1/4→1/2にUP？）
(3)相手が残る一つを選んだら、相手が最初に選択していた扉に変える（確率1/4→3/8？）
おや、確率の合計が１を超えた？どこを間違っているのでしょうか。

回答No.3

Mathmi · ベストアンサー

モンティ・ホール問題の場合、最初に決定するのは、実は扉の選択だけではなく「扉を変更するかどうか」も決定しています（明示されていませんが）。

「扉を変更しない」場合、当たる確率は1/3です。
「扉を変更する」場合、外れの扉を選択すればいいので、当たる確率は2/3です。

この「扉を変更するか」の意思決定を、(3)のモンティが扉を開いた後にすると、残った二つの扉のどちらを選択するか、という問題に変わり、当たる確率は1/2になります。

(i)私が「モンティが外れの扉を開く」ことを知っているか否かで確率が変わるのか？
モンティが常に外れの扉を開く以上、心理的にはともかく、確率は変わらないと思います。

(ii)1/3＋1/3＝2/3として考えるのは正しいの？
「扉を変更する」を選択していた場合、(3)-(5)は「選んだ以外の扉を開けられる」と言い換える事ができます。
命中率1/3の扉を二つ開けることができるから1/3+1/3で命中率2/3になる、と考えれば、納得頂けるかと。

(iii)4つの扉から２人が選ぶ場合は？
(2)モンティが明けた時点で、その確率1/4が、残りの2つの扉の確率1/4に加算されると思います。
つまり、1/2になるのではなく、1/4+(1/4)/2=3/8の確率の扉が2つ、という感じに。
(3)2人の回答者の命中率は、それぞれ独立しているのではないでしょうか？　つまり、回答者Aにとっての扉1の命中率と、回答者Bにとっての扉1の命中率は異なる、というように。検算していないので間違っているかもしれませんが。

お礼

>　「扉を変更する」場合、外れの扉を選択すればいいので、当たる確率は2/3です。

この一文が一番イメージしやすかったです。
「変更する」と決めてかかるなら始めに間違いの扉を選べばいいということで「残る扉」が確率2/3で当たるということがイメージでき、モヤモヤは晴れました。
ありがとうございます。

回答No.4

Mathmi

No.3です。
(3)を、以下の条件で試行してみました。
・Aが扉を選ぶ
・Aが選んだ扉以外をBが選ぶ
・AもBも選んでいない扉の内、外れの扉をMが開ける。
・Aが、空いても選ばれてもいない扉に変更するか選択する。
・Bが、空いても選ばれてもいない扉に変更するか選択する。

40,000回ずつ試行して、Aが変更しBも変更する場合の正答回数は、A20,131回、B10,064回でした。
以下同様に、A変更B不変で19,867/10,061。A不変B変更で10,186/20,087、A不変B不変で9,702/10,213でした。
大体(1/2,1/4)(1/2,1/4)(1/4,1/2)(1/4,1/4)の割合です。

なので
1.モンティが扉を開ける前は、全ての扉の当たる確率は1/4ずつ。
2.モンティが扉を開けた時点で、AもBも選んでいない扉の当たる確率は1/4+1/4=1/2となる。
3.Aが変更する場合、確率1/4の扉から確率1/2の扉への変更となる。
4.Bが変更する場合、変更先はAの変更前の扉、つまり確率1/4の扉しかない。なので、変更しようがしまいが確率は1/4のまま。
という事のようです。

お礼

わざわざシミュレーションありがとうございました。

回答No.2

notnot

i, ii) 論理的には理解できるが、直感と反することが納得できないと言うことであれば、扉が3個じゃなくて、1000個あって、選んだ後で998個の扉を開くというのを想像しててはどうでしょうか？

お礼

幾つに増やそうが、始めの扉と残った扉に当確率差異があるイメージがまったく持てなかったのですよね。
「残る扉」は「自分が選んでいない」ってののがポイントかぁ。。

回答No.1

alain13juillet

ベイズの定理です。ある事柄Aが起きた時にBが起きる確率は、Bが起きた時にAが起きる確率と同じと言うことです。
ある事象が起きることによって、後の事象確率が変わると言うことです。
だから、最後の問題は、最初は１/４ずつで引いた訳ですが、出題者が残った二つのうち外れの方を見せた訳です。この場合、両者外れだった場合と、一つ外れだった場合があります。
最初に選んだものは１/４ずつの確率（１/４x2)ですが、残されたものは1/2の当たりくじとなります。
もし、仮に宝くじを2人で買って、100万分の1の確率だったとして、残った99万997枚の外れを見せて、残り３枚から選び直すかどうかと言う問題だったら、替えませんか？

お礼

ご回答ありがとうございます。