モンティ・ホール問題は本当に数学者も間違えた？

質問

最近友人にモンティ・ホール問題を出題されました。
しばらく悩みましたが正解することができました。
問題自体が難しかったというよりは問題の設定を理解するのに時間がかかった、という感じです。私以外の友人もしばらくなやみつつもだいたい正解していました。
我々は理系ではありますが、みな数学の専門ではなく、私含め数学が苦手なものも多かったので数学者なら即座に答えるんだろうな、と思っていたらモンティ・ホール問題は正解が証明されるまで大変な議論が発生したとネットに載っていて驚きました。
これは本当でしょうか。

答えの証明は非常に単純な確率の問題で中学生でも理解できそうなくらいに思うのですが。
因数分解も微分積分も虚数もベクトルも、我々を学生時代に散々悩ませた困難な数学的要素は何もありません。
袋の中に青いボールと赤いボールがある個数ずつ入ってます。ランダムにボールを1個取りだしたら青いボールである確率は何分の1ですか、という問題を多少捻った程度ではないかと感じてしまいました。
それとも我々が本質を理解できていないだけで本当はすごく難しいのに単純だと誤解しているだけなのか。
あるいは数学的な話とは別に何か議論を産むような要因があったのか、または議論が発生したというのは誇張であって実際は大した話でもなんでもないのか。
詳しくご存じの方がいらっしゃれば教えていただければと思います。

なお我々は、変更しないを選べば景品を当てる確率は最初に景品を選ぶ確率である3分の1。変更するを選べば最初に景品を選んでいた場合は外れるが、最初に外れていれば司会者によって外れの1つを潰されるので確実に景品を当てられる。よって変更すれば景品が当たる確率は3分の2、と理解しています。
ネットの解説サイトを見た限りでは我々の理解で正しいように思うのですけども。

回答No.14

中村 拓男（@tknakamuri）

>モンティが8枚外れている状況に限定すれば確かに1/2でプレイヤーが当たっていますが、
>実際はプレイヤーが最初に外していた場合、モンティは8/9で当たりを持って行ってしまいますよね。

ちょっと違うかな

モンティが何も知らないとすると、モンティが8枚はずれの確率は,

プレイヤーがあたり→ 1/10 x 1 = 1/10
プレイヤーがはずれ⇒ (9/10)・(8/9)・(7/8)・・・・・・(1/2) = 1/10

合わせて 2/10 だからモンティが当たってしまう確率は 8/10

モンテイが外れたという前提でのプレイヤーがあたりの確率は

P(プレイヤーあたり|モンティ8回はずれ) = P(プレイヤーあたり∩モンティ8回はずれ) /P(モンティ8回はずれ)
= (1/10) / (2/10) = 1/2　なので交換は不要。

もちろん条件なしでの確率 P(プレイヤーあたり) は 1/10 のままです。

一方、モンティが全てを知っていたとすると
P(モンティ8回はずれ) = 1、 P(プレイヤーあたり∩モンティ8回はずれ)=1/10 ですから

P(プレイヤーあたり|モンティ8回はずれ) = P(プレイヤーあたり∩モンティ8回はずれ) /P(モンティ8回はずれ)
= 1/10 ⇒P(プレイヤーはずれ)=9/10

で交換した方が圧倒的に有利ということになります。

モンテイの頭の中にある知識の有無が状況の変化に大きく影響することがわかります。

お礼

ありがとうございます。
どうも根本的に問題の設定自体を誤解していたようでした。

回答No.13

MagicianKuma

事後確率と言う意味が分かってられなようです。
実際にモンティが1つ選んで偶々はずれだった。その事実が起きた後、その時点でプレーヤの選んだ箱が当たっている確率を問うているのです。モンティが箱を選んで開く前に、開いてハズレの確率うんぬんを議論しているわけではない事を理解して下さい。100個の
ケースも、まづ起きそうもないけれど、98個開いて全部ハズレだった。ということが起きた後、残った2箱をみて確率はどうなの？と問うたとき1/2,1/2ですよと言っているわけです。なんせ残っている箱はその時点で2つしかないわけですから。

お礼

なるほど。
すいません。どうも問題の設定自体を誤解していたようです。
それなら理解できます。
何度もお答えいただきありがとうございました。

回答No.12

中村 拓男（@tknakamuri）

>その後にモンティが当たりを選ぼうが外れを選ぼうが
>何をしようが回答者の箱を強奪でもしない限りは当たる
>確率は3分の1のような……

事前に行ったことの結果の確率が後に行った事象を
知ることで変わるというのは直感に反するのですよね。

でも最初にドアが10枚あって、プレイヤーが一枚
モンティが8枚はずれをひいたら、
やはりプレイヤーがあたりをひいている
確率は1/10でしょうか？

お礼

モンティが8枚外れている状況に限定すれば確かに1/2でプレイヤーが当たっていますが、実際はプレイヤーが最初に外していた場合、モンティは8/9で当たりを持って行ってしまいますよね。
そうなるとやはり全体でのプレイヤーが当てる確率は1/2にはならないように思うのですが。

回答No.11

中村 拓男（@tknakamuri）

〉P(A|B) = P(A∩B)/P(B)= (1/3)(2/3)=1/2

修正です。申しわけない。

P(A|B) = P(A∩B)/P(B)= (1/3)/(2/3)=1/2

お礼

ありがとうございます。
お気になさらず。

回答No.10

MagicianKuma

>私も思い込みや直感の罠にハマってしまっているのでしょうか。
肝心なことを忘れています。モンティが1枚めくった後、残り２つになっています。元のままか選び直すか。そのどちらかに当たりがあります。なのでその確率は足すと1になります。あなたの考え方では1/3と1/3。じゃあ残りの1/3はどこにある？　すなわちモンティが1枚めくったことで状況が変化したのです。極端なケースを考えてみましょう。箱が100個あるとしましょう。当たりは1つです。最初プレーヤが1つ箱を選びます。これが当たりの確率は1/100。残りの99個のどれかに入っている確率は99/100。
状況１：モンティが当たり箱を知っていて、選ばれていない箱から外れの箱を1つ開けます。
　プレーヤの選んでいる箱が当たる確率は1/100のまま。残りの98個のどれかにに入っている確率99/100。モンティはさらに空箱を開けて行きます。プレーヤの選んでいる箱が当たる確率は1/100のまま。残りの97個に入っている確率は99/100。どんどんモンティが空箱を98個開けていくと。プレーヤの選んでいる箱が当たる確率は1/100のまま。残っている別の1個が当たる確率は99/100。絶対選択し直しましょう。
状況２：モンティは当たり箱を知らず。選ばれていない箱から1つ開けたらたまたま外れだった。
　この場合確率が変化します。プレーヤの選んでいる箱が当たる確率は1/99。残りの98個に入っている確率は98/99となります。どんどんモンティが空箱を98個開けていって。たまたま全部はずれだった(こんなことはまぁめったに起きないだろうがね）とすればね。プレーヤの選んでいる箱が当たる確率は1/2まで上昇するのだよ。

お礼

箱が100個あってモンティが正解を知らずに当たりを開ける可能性がある場合は以下のようになるのではと思うのですが。

1：プレイヤーが最初に外し（99/100）、なおかつモンティが当たりを開ける場合（98/99）
　この場合はプレイヤーの方針がどちらであろうともモンティが当たりを持って行ってしまうのでプレイヤーは必ず外す。
　この状況になる確率は98/100。

2：プレイヤーが最初に外し（99/100）、なおかつモンティが全部外す場合（1/99）
　この場合はプレイヤーが変更するという方針ならば当たり、変更しなければ外す。
　この状況になる確率は1/100。

3：プレイヤーが最初に当てていた場合（1/100）。この場合はモンティは全て外す。
　この状況ではプレイヤーが変更するという方針ならば外し、変更しなければ当たる。
　この状況になる確率は1/100。

よってどちらの方針でも当たる確率は1/100。
なのではないのでしょうか？

モンティが当たりを引いた場合はやり直せるという設定、すなわち1の状況を無視できるのなら確かに当たる確率は1/2になりますが。

回答No.9

中村 拓男（@tknakamuri）

＞なぜそうなるのでしょうか。

この場合、通しの確率でもまあわかるのですが、条件付き確率を
求めるのがベターでしょう。

つまり、モンティのはずれが確定した段階で、プレイヤーの最初の
選択がいまどうなっているかということ。
モンティが負けた分あたりの確率が大きくなっているはず。
そういう確率が求めたいはずです。

A=プレイヤーが最初の選択であたり
B=モンティがはずれ

P(A|B) = P(A∩B)/P(B)= (1/3)(2/3)=1/2

お礼

うーん？まだ分かりません……
私も通常のモンティホール問題を理解できなかった数学者を笑えませんね。

少なくとも変更しない場合は、最初に箱を選んだ時点で当たり外れは決定する訳ですから、その後にモンティが当たりを選ぼうが外れを選ぼうが何をしようが回答者の箱を強奪でもしない限りは当たる確率は3分の1のような……
なにか見落としがあるのでしょうけども……

回答No.8

MagicianKuma

No4さんの問題では。
>単純に、変更しなければモンティの当たる外すに関係なく当たる確率は3分の1。
> 変更する場合の当たる確率は、自分が最初の選択で外れて（3分の2）、かつモンティが外れた場合（2分の>1）なので両者をかけて3分の1。
>よってどちらでも当たる確率は同じ、と考えました。
>これで正しいでしょうか。
ちょいおしい。どちらでも当たる確率は同じではありますが、1/2,1/2に変化します。

お礼

1/2？
不思議ですね。
なぜそうなるのでしょうか。
選び直しをしない場合、最初にプレイヤーがまず3つの中から1つを選び、それをけして変更しないので、この時点で当たる確率は3分の1に決まり、その後モンティが残りのどちらを選ぼうともプレイヤーが当たりを引く確率に変わりはない気がするのですが。
私も思い込みや直感の罠にハマってしまっているのでしょうか。
よければ解説をお願いしてもよろしいでしょうか？
とても不思議です。

回答No.7

中村 拓男（@tknakamuri）

>数学なんかは感覚ではなく論理で考えるというイメージがありますが

数学も問題を解くということは、たいてい一歩一歩の戦術の組み合わせです。

一足飛びに結論に行き着くのが無理ならば中間地点を定めて一歩一歩
攻略してゆきます。中間地点は、それが正しいかは全体が見えてこないと
わからないので、定石やひらめきで決めます。根拠は後付です。当然頂上が見えずに
引き返すことも多々あります。あなたもそうではありませんか？

お礼

なるほど。確かにそうですね。
私も数学は最初にこうすれば解けるかな、というイメージから方法を模索していますね。
優れた数学者だからこそ最初に間違ったイメージを持ってしまうとそれに引きずられてしまう、という感じでしょうか。

回答No.6

中村 拓男（@tknakamuri）

「My Brain is Open―20世紀数学界の異才ポール・エルデシュ放浪記」
http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/4320017447/pm100-22/ref=nosim

この本に、何故　数学者「ポール・エルデシュ」がモンティホール問題に騙されて
しまったかが載っているそうです。内容は知りません。

かなり偉い人みたいですね(^^;

お礼

おお、本にまでなっていたのですね。
ありがとうございます。

ちょっとお金を出してまで調べるほどの情熱はないのでもしも近所の図書館にあったら読んでみようと思います。

回答No.5

stomachman

ANo.2へのコメントについてです。

> 「あなた」が夫に対する呼びかけであり女相手には使わない

いや、女相手にも使うという話です。（まあ、なるほど、ガサツな女が増えたからな。）

お礼

なるほど。となると問題の解釈に幅がでちゃいますね。