３つの箱があって１つが当たり、、、の確率

質問

ある本を読んでいてどうしてそうなるの？と思ったので、教えて下さい。

例えばクイズ番組のようなモノで、
１）３つの箱があって、その中の一つが当たりです。
２）まず回答者がその中の１つを選択します。
３）司会者が残りの２つのウチ１つを選択して開けて見せたらそれは、ハズレでした。
４）司会者が、「回答者に選択を変えますか？」と言いいました。
この場合、最初の選択を変えた方が当たる確率が高い？と書いてありました。
本を読み進んでもも、どうも心理的なモノではないようですし、その上どうしてそうなるのかも書いてありません。

私からみると、変えても変えなくても１／２にしか思えないのですが、本当に確率が違うのでしょうか？

回答No.4

Tattoko · ベストアンサー

3つの箱のうち、あなたが最初に選んだものを(選)、残りの2つを
それぞれ(Ａ),(Ｂ)とします。
　すると、状況は以下の3通りあり、これらは同確率である
(同様に確からしい)といえます。起こりうる割合は
1. 2. 3. いずれも 1/3 です。

1.　(選)○ (Ａ)× (Ｂ)×
2.　(選)× (Ａ)○ (Ｂ)×
3.　(選)× (Ａ)× (Ｂ)○
○…あたり ×…はずれ

　さて、1.の場合の司会者の動きを考えると、司会者はあなたが
選んだ箱以外の2つの箱はいずれも×であることがわかっているので、
どちらを開けることもありえます。この状況下で(Ａ)を選ぶ確率
は 1/2 , (Ｂ)を選ぶ確率も 1/2 です。全体としては、

「あなたが選んだ箱が○でかつ司会者が(Ａ)を選んだ」確率は 1/6 …(1a)
「あなたが選んだ箱が○でかつ司会者が(Ｂ)を選んだ」確率も 1/6 …(1b)

です。

　それに対し、2.の場合の司会者の動きを考えると、司会者はあなたが
選んだ箱以外の2つの箱のうち(Ａ)は○であることがわかっているので、
確実に(Ｂ)をあけます。よって、

「あなたが選んだ箱が×でかつ司会者が(Ｂ)を選んだ」確率は 1/3 …(2)

です。

　同様に、3.の場合の司会者の動きを考えると、司会者はあなたが
選んだ箱以外の2つの箱のうち(Ｂ)は○であることがわかっているので、
確実に(Ａ)をあけます。よって、

「あなたが選んだ箱が×でかつ司会者が(Ａ)を選んだ」確率は 1/3 …(3)

です。

　これらをまとめてみると、

「あなたが選んだ箱が○でかつ司会者が(Ａ)を選んだ」確率は 1/6 …(1a)
「あなたが選んだ箱が×でかつ司会者が(Ａ)を選んだ」確率は 1/3 …(3)

「あなたが選んだ箱が○でかつ司会者が(Ｂ)を選んだ」確率も 1/6 …(1b)
「あなたが選んだ箱が×でかつ司会者が(Ｂ)を選んだ」確率は 1/3 …(2)

ですから、司会者がいずれの箱を選んだ場合も、あなたが選んだものよりも
残りのものの方が○である確率が高くなります。
　直感的な言い方でまとめると、あなたが選んだものが×の場合には
司会者は意図的に残りのうち○のものを避けて開けることから、
司会者が開けなかった箱は○である可能性が高いということです。

お礼

勝手ながらこの回答にてみなさまへの回答とさせて頂きます。
小学生・中学生の頃までは、算数や数学は得意中の得意だったのですが、、、その頃はその頃なりの確率の問題だったのですね！
最初は、なんでこんな簡単そうな問題がよくわからないんだと思いましたが、司会者が正解を知っているか、知らないかで確率が変わる（まぁ気がついてしまえば、その通りだとわかりましたが、それにすら気がつきませんでした）なんて、、、
わざわざ答えて頂いた、みなさんにポイントを差し上げたいのですが、一番長い回答を下さった方と最初に回答を下さった方にて、失礼させて頂きます。

回答No.3

jet-ninjin321

これは司会者が当たりがどこに入っているかを知っている
かどうかで大きな差がででくるようです。
知らないで適当に開けてそれがはずれだった場合は
kunickさんの考えのように１／２で良いようですが
ポイントは司会者が当たりはどこにあるか知っているときは
２／３が正しいようです。というか私も良く分かっておらず
下記のサイトで『へ～』と思った１人な分けですがｗ

参考URL：

http://www.sega.co.jp/starhorse/junkies/d/diary/5_itbqst_itbqst.shtml

回答No.2

pancho

数ヶ月前にかなり議論が白熱した問題だったと思います。

結論から言うと「司会者の行動がどう行われたか」によって条件が変わり、
　・「kunick」さんの予想通り１／２
　・「TK0318」さんの回答通り２／３と１／３
のどちらにもなります。

ポイントは、司会者が答え（当たり）を知っていて箱を開けたかどうかです。
司会者が答えを知らない場合は、「kunick」さん予想が正解。逆に司会者が答えを知っていてはずれの箱を開けた場合は、「TK0318」さんの回答通りになります。

この違いが発生する理由は、司会者が答えを知らずにあけた場合、はずれではなく当たりの箱を開けてしまう可能性があることです。
この確率が１／３で、知っていた場合の確率１／２からその１／３のずれを生じると上記２人の確率の差「２／３－１／２＝１／６」になります。

以上。

回答No.1

TK0318

これは高いんです。
変えた場合２／３、変えない場合１／３になります。

説明しやすいように３つの箱をＡＢＣとし、選択した箱をＡとします。このときＡＢＣそれぞれの箱の当たる確率は１／３です。ということはＡが当たりの確率が１／３、ＢかＣが当たりの確率は２／３です。この状態でＢかＣ（説明の都合上Ｃとします）を空けるとはずれですので「Ａが当たりの確率が１／３、Ｂが当たりの確率は２／３」となるのです。

よって変えたほうが得なのです。