数字のトリック

質問

数字のトリックについて伺いたい事があります。考え方はわかるのですが、どうしてそうなるのかが全くわからないので質問させていただきました。それは・・・
１　まず何ケタでもいいので好きな数字を書く
２　１に書いた数字を順番を入れ替えて書く
３　１と２の大きい方から小さいほうを引き算しその答えを書く
４　３で出た数字の中から０以外でひとつだけ好きな数字に○を　　　　
　　つける
５　○をつけていない数字を全て足す
６　５で足して出てきた数字よりも大きくて一番ちかい９の倍数　
　　をみつける
７　その９の倍数から５で出た数字をひくと○をつけた数字にな　　　　　
　　る
どうしてこのようになるのかがいくら考えてもわかりません。９という数字が何かあるのかな？と漠然と思いますが、この数字のトリックがわかる方、是非教えてください。お願い致します！

回答No.1

s_yoshi_6 · ベストアンサー

これは３のところで出てくる答えが、必ず９の倍数になる、というところがミソです。
例えば、３桁の数字で考えてみます。
ａ、ｂ、ｃは整数で、ａ＞ｂ＞ｃとします。
仮に最初の数が[ａｂｃ]、並べ替えた数が[ｂｃａ]とします。
これは数式に直すと、１００ａ＋１０ｂ＋ｃと１００ｂ＋１０ｃ＋ａとなります。
二つの数の差は９９ａ－９０ｂ‐９ｃ＝９（１１ａ‐１０ｂ-１）となり、これは９の倍数となります。
ここで答えが９の倍数になったのは偶然ではなく、１００、１０、１は相互に引き算をすると必ずどの組み合わせでも９の倍数になります。また３けたの数に限らず、それは任意の１０のｎ乗の数の場合も成り立ちます。（証明が必要ですが感覚的に分かると思いますので略します）

３で出てくる答えが９の倍数であれば、全ての桁の数字を足すと（たとえば621であれば6＋7＋5＝18）９の倍数になるのはご存知だと思います。ですから、その９の倍数である各桁の合計の数字（例えば18）から、○をつけたある桁の数字（例えば5）を引いたもの（例えば13）が分かれば、○をつけた数字は当然９以下ですから、残りの数（13）に９を足したもの以下の９の倍数（18）になるはずです。
よって○をつけた数字は１８－１３＝５と出てきます。

以上の説明でいかがでしょうか。

お礼

とても良くわかりました。やはり９の倍数というのが重要でしたね。どうもありがとうございました！

回答No.4

eatern27

＃３です。

勘違いでした。しかも、こんなに早く勘違いに気づくとは…。

失礼しました。

説明は,#1さんの通りです。

ある数を９で割った余りが、各桁の和を９で割った余りに一致することがポイントですね。

お礼

お答えいただきありがとうございました！

回答No.3

eatern27

反例

１番で４１３と書きます。
２番で１４３と書きます。
３番は４１３－１４３＝２７０になります。
４番で０に○をつけます。
５番は２＋７＝９になります。
６番は,９より大きい最小の９の倍数なので、１８になります。
７番では,１８－９＝９となって、○をつけた数字とは一致しません。

となるのですが、私の勘違いですか？

回答No.2

s_yoshi_6

＃１です。
訂正・追加します。
＞たとえば621であれば6＋7＋5＝18　→　たとえば675であれば6＋7＋5＝18
＞残りの数（13）に９を足したもの以下　→　残りの数（13）に９を足したもの（22）以下