重複順列

質問

数字１，２，３，４，５を用いて、４ケタの整数を作る。
ただし、同じ数字を重複して用いてもよいとする。

（１）このようにしてつくられる４ケタの整数の中で、
４の倍数は何通りあるか。

（２）（１）で考えた４の倍数の中で、
小さい方から４７番目の数を求めよ。

（３）（１）で考えた４の倍数すべての和を求めよ。

解ける方がいらっしゃいましたら、
解説お願いしますm(__)m

回答No.2

suko22

(1)4の倍数・・・下2桁が4の倍数になるもの
　下2桁＝12、24、32、44、52の5通り

　上2桁は1から5どれでもいいので、上2桁の組み合わせの数は5＾2＝25通り

　よって、４の倍数の個数は、5*25＝125個

(2)小さいほうから、上2桁と下2桁に分けて考えると、
　千の位が1のとき、
　11+5通り
　12+5通り
　13+5通り
　14+5通り
　15+5通り　・・・1552で25番目

　千の位が2のとき、
　21+5通り　
　22+5通り
　23+5通り　
　24+5通り
　25+5通り　・・・2552で50番目・・・2544→2532→2524が47番目

(3)千の単位と百の単位と十の単位と一単位を分けて合算する。
　（1000+2000+3000+4000+5000）*25+（100+200+300+400+500）*25+（12+24+32+44+52）*25
　＝（15000+1500+164）*25＝16664*25＝416600

回答No.1

muneneko

(1)
4の倍数である条件は、下2桁が4の倍数であることです。
(100は4の倍数なので、XX…XX00という数字は4で全て割り切れるため)
ということで、下二桁の組み合わせは

12,24,32,44,52

に限られます。
この5通りに対し、千の位、百の位にはそれぞれ5通りの数が入るので組み合わせは

5×5^2 = 125通り

(2)
小さい方から数えていきます。□□には12,24,32,44,52のどれかが入ります。

11□□　…5通り　　21□□　…5通り
12□□　…5通り　　22□□　…5通り
13□□　…5通り　　23□□　…5通り
14□□　…5通り　　24□□　…5通り　　　　ここまでで45通り
15□□　…5通り　　25１２　…46番目
　　　　　　　　　　　 　 25２４　…47番目

なので、47番目は2524

(3)
位ごとに分けて考えます。□□には12,24,32,44,52のどれかが入ります。

11□□　12□□　13□□　14□□　15□□
21□□　22□□　23□□　24□□　25□□
31□□　32□□　33□□　34□□　35□□
41□□　42□□　43□□　44□□　45□□
51□□　52□□　53□□　54□□　55□□

まず、1000が25個、2000が25個、3000が25個、4000が25個、5000が25個あります。
なので千の位だけの和は

(1000+2000+3000+4000+5000)×25=375000

百の位では、100が25個、200が25個、300が25個、400が25個、500が25個あります。
なので百の位だけの和は

(100+200+300+400+500)×25=37500　

十の位と一の位はセットで考えます。
11□□の□□には12,24,32,44,52のどれかが入るので、11□□だけにおける十の位と一の位の和は

12+24+32+44+52=164

これが11□□から55□□までの25個あるので、十の位と一の位だけの和は

164×25=4100

よって、全ての位の数を足して

375000+37500+4100=416600

……かな？

間違っていたら、申し訳ないです；