行列

質問

Aを2行2列の行列とする。ある正の整数ｎ≧2についてA＾n-1 ≠0、A＾ｎ＝0
（０は0行列）ならば常にA＾2＝0が成り立つと示せ。

という問題ですが、A^2＝０ならA＾n-1も０になるような気がするんですが
たとえばn＝15ならA＾14＝A^12*A＾2＝0
のような・・

回答No.3

tmppassenger

質問者さんの疑問は、
仮に 『n≧ 3』 なるある正整数 n が存在して A^{n-1} ≠ O、 A^n = O となるとする。この時 A^2 = O となることが証明出来るのなら、
A^{n-1} = (A^2) (A^{n-3}) = O となってしまうから（今n≧3を仮定しているので、この変形はok）、そもそも「A^{n-1} ≠ O」という事と矛盾してしまう。

なので、ある正整数 n が存在して A^{n-1} ≠ O、 A^n = O となるなら A^2=Oが成り立つ、というのであれば、この場合のnはそもそも n≦2でないと（つまりn=2でないと）おかしくて、ってわけで問題と何か変ではないか？という疑問をもっているという事です。

で、実際には、つまり『n≧ 3』 なるある正整数 n が存在して A^{n-1} ≠ O、 A^n = O となるとすると要は「矛盾する」（ことが証明できる）。で、矛盾からは如何なる結論も導出出来るので、A^2 = Oと結論しても問題ない。（つまり、例えばA^14 ≠ O、A^15 = Oとなるなら、「矛盾」なので、A^2 = Oとなる、と結論しても問題ない）。ただし、この場合「矛盾する」こと自体はきちんと証明する必要がある。
で、n=2の場合はもちろん問題ないので、結局この設題に不備はないのですが、分りにくい。結局設問の中にある「 A^{n-1} ≠ O」の部分は余計なので、はずして考えてみましょう、という訳です。

回答No.2

f272

A^2=0であれば
A^5=A^3*A^2=0
A^4=A^2*A^2=0
A^3=A*A^2=0
A^2=E*A^2=0
ですが，
A=A^(-1)*A^2=0
であるとは言えません。A^(-1)が存在するかどうかわからないのですから。
そして2以上の整数nについてA^n=0であればA^(-1)は存在しません。

回答No.1

tmppassenger

確かに A^{n-1} ≠0 という部分は混乱しますね。この部分は余計でいらないので、その条件でもういちど考えてみてください。