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数学

この問題の解答解説教えていただきたいです!

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  • jcpmutura
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回答No.2

0以上の整数nに対して I(n)=∫_{0~1}x^(2n)cosxdx と定める. 特にI(0)=∫_{0~1}cosxdx=sin1である.ただし,角は弧度法で表している. (1) I(n+1) =∫_{0~1}x^(2n+2)cosxdx =[x^(2n+2)sinx]_[0~1]-(2n+2)∫_{0~1}x^(2n+1)sinxdx =sin1-(2n+2)∫_{0~1}x^(2n+1)sinxdx =sin1+(2n+2){[x^(2n+1)cosx]_[0~1]-(2n+1)∫_{0~1}x^(2n)cosxdx} =sin1+(2n+2){cos1-(2n+1)I(n)} =sin1+(2n+2)cos1-(2n+2)(2n+1)I(n) (2) n=0の時 I(0)=sin1=1*sin1+0*cos1=a(0)sin1+b(0)cos1 を満たす整数 a(0)=1 b(0)=0 が存在する ある非負整数nに対して I(n)=a(n)sin1+b(n)cos1 を満たす整数a(n),b(n)が存在すると仮定すると I(n+1) =sin1+(2n+2)cos1-(2n+2)(2n+1)I(n) =sin1+(2n+2)cos1-(2n+2)(2n+1){a(n)sin1+b(n)cos1} =sin1+(2n+2)cos1-(2n+2)(2n+1)a(n)sin1-(2n+2)(2n+1)b(n)cos1 =sin1-(2n+2)(2n+1)a(n)sin1+(2n+2)cos1-(2n+2)(2n+1)b(n)cos1 ={1-(2n+2)(2n+1)a(n)}sin1+(2n+2){1-(2n+2)(2n+1)b(n)}cos1 =a(n+1)sin1+b(n+1)cos1 を満たす整数 a(n+1)=1-(2n+2)(2n+1)a(n) b(n+1)=(2n+2){1-(2n+2)(2n+1)b(n)} が存在するから 全ての非負整数nに対して I(n)=a(n)sin1+b(n)cos1 を満たす整数a(n),b(n)が存在する (3) 正の整数の組(p,q)でtan1=q/pを満たすものが存在すると仮定する. この組(p,q)に対して 全ての非負整数nに対して I(n)=a(n)sin1+b(n)cos1 を満たす整数a(n),b(n)が存在するから I(n)p/cos1 ={a(n)sin1+b(n)cos1}p/cos1 ={a(n)tan1+b(n)}p ={a(n)(q/p)+b(n)}p =a(n)q+pb(n) は整数である (4) 0≦x≦1の時 0<cosx≦1 0≦x^(2n) だから 0≦x^(2n)cosx≦x^(2n) だから 0 ≦∫_{0~1}x^(2n)cosxdx=I(n) ≦∫_{0~1}x^(2n)dx =[x^(2n+1)/(2n+1)]_{0~1} =1/(2n+1) だから 0≦I(n)≦1/(2n+1) だから 0≦lim_{n→∞}I(n)≦lim_{n→∞}1/(2n+1)=0 ∴ lim_{n→∞}I(n)=0 (5) tan1が無理数でない有理数だと仮定すると 正の整数の組(p,q)でtan1=q/pを満たすものが存在する 0<x<1の時 x^(2n)cosx>0 だから I(n)=∫_{0~1}x^(2n)cosxdx>0 lim_{n→∞}I(n)p/cos1 ={lim_{n→∞}I(n)}p/cos1 ↓(4)から =0*p/cos1 =0 だから ε=1/2>0に対して ある自然数n_0が存在して n>n_0となる任意の自然数nに対して |l(n)p/cos1|<ε=1/2 ↓(3)からI(n)p/cos1は整数だから l(n)p/cos1=0 ↓両辺にcos1をかけると I(n)p=0 ↓p>0だから両辺をpで割ると I(n)=0 となってI(n)>0に矛盾するから tan1は無理数である

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  • asuncion
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回答No.1

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