円を環状に分割

質問

積分を使って円の面積を求める方法がわかりません。

円をn個の環状に分け、各環の幅はΔrとする。半径r(i)の円と半径r(i+1)=r(i)+Δrの円との間の環の面積をS(i)とすると、半径rの円の周の長さは2πrだから。
2πr(i)Δr<S(i)<2πr(i+1)Δrであるから、円の面積は、Σ[i=0,n-1]2πr(i)Δrで近似できる。
と本に書いてあるのですが、Σ[0,n-1]でなぜiが0から始まり、n-1で終わるのかがわかりません。
円を3個の環に分割した際、円の面積の近似は、2πr(0)Δr+2πr(1)Δr+2πr(2)Δrになると思うのですが、2πr(0)Δrを、中心の一番小さい円の面積と考え、r(0)=Δrとすると、円の面積は
π(Δr)^2=2πr(Δr)^2となっておかしいことになりました。式の2πr(1)Δrなどを、具体的な環の面積に対応させること自体が無理なのでしょうか？
どなたか、Σ[0,n-1]でなぜ0から始まり、n-1で終わるのかを説明してください。

回答No.2

nanashisan_

積分とは細切れにしたものを足し合わせる計算です。
細切れをどんどん細かくしていく（nを∞に近づける）ことで真の答えに近づけます。n→∞の極限が真の答えです。
従って、nが小さいとき真の答えと差が大きいのは当然です。

お礼

Σ記号の式は、円の面積との差が大きいという、ご指摘ありごとうございます。

回答No.1

178-tall

>円をn個の環状に分け、各環の幅はΔrとする。

最も小さい「環」は？
半径がゼロの円である中心 O (オー) と、半径がΔr の円との間の「環」。
添字ゼロに対応。

最も大きい「環」は？
半径が (n-1)Δr の円と、半径がnΔr の円との間の「環」。
添字 n-1 に対応。

… で、「環」の数は n 個。

補足

良ければ返事を下さい。
2πr(0)Δrを添字ゼロだと考えたのですが、半径がゼロの円であるからr(0)=0
となって、最も小さい環は面積が0になる。環の数が少ないと信じられないですが、ｎ-1→∞とすると、最も小さい環は面積が0に近づき、積分の結果、円の面積が求まると考えてよいのでしょうか。