断面積の求め方

質問

積分で体積を求める際の、断面積がわからないので、質問します。
問題は
真上から見ると円、正面から見ると半円、真横から見ると直角2等辺三角形であるような立体の体積を求めよ、ただしこの円および半円の直径と、直角2等辺三角形の斜辺の長さがは等しく、2aであるとする。　というものです。

自分は円の中心Oを通る直角2等辺三角形を断面積として、斜辺が2a 等しい残りの２辺が、√2aとし、断面積a^2、体積を∫(0→2a)a^2dxとして計算しましたが間違いでした。

解説では、円の中心Oからx離れた、直角2等辺三角形の斜辺の半分は、√(a^2-x^2) より断面積a^2-x^2、体積2∫(0→a)(a^2-x^2)dx=(4/3)a^3でした。

分からない点は、断面積を求める際、x軸上の点ｘにおけるx軸に垂直な平面の断面積を使うのはなぜでしょう。この問題ではなぜ、ｘを含む断面積を積分したのでしょうか？

解説お願いします。

回答No.2

m-take0220 · ベストアンサー

＞自分は円の中心Oを通る直角2等辺三角形を断面積として、斜辺が2a 等しい残りの２辺が、√2aとし、断面積a^2、体積を∫(0→2a)a^2dxとして計算しましたが間違いでした。

この計算だと、直角二等辺三角形が円の中心Oから離れても、高さ・面積が変わらないことになります。そうすると、正面から見た形状は半円ではなく長方形となり、真上から見た形状も円ではなく正方形になります。
正面から見た形状が半円ということは、直角二等辺三角形の高さは、円の中心Oから離れると小さくなるということです。Oからx離れた位置での直角二等辺三角形の高さは、半円の高さと一致するので、h=√(a^2-x^2)となります。それを考慮して計算すれば、正解にたどり着けるはずです。

＞分からない点は、断面積を求める際、x軸上の点ｘにおけるx軸に垂直な平面の断面積を使うのはなぜでしょう。この問題ではなぜ、ｘを含む断面積を積分したのでしょうか？

軸方向に移動した場合に断面積が変化しないなら、体積の計算は断面積×幅(x方向の距離)になります。
軸方向に移動すると断面積が変化する場合、軸と垂直な線で細かく分割すると、個々の体積はある位置での断面積×分割幅で近似できます。この分割幅を限りなく小さくしていき合計を求めることが、積分の原理になります。
分割幅はX軸と平行な方向なので、使用する断面積はX軸と直角方向になります。

お礼

断面図の面積と高さによって、求める立体の形が変わるか考えるのは、新鮮でした。これからは、立体図形の形を考慮したいと思います。

回答No.4

info33

>断面積a^2、体積を∫(0→2a)a^2dxとして計算しました

これでは断面積一定の, 横に倒した三角柱の体積を求めることになります。

>断面積 (a^2-x^2)、体積2∫(0→a)(a^2-x^2)dx=(4/3)a^3でした。
>分からない点は、断面積を求める際、x軸上の点ｘにおけるx軸に垂直な平面の断面積を使うのはなぜでしょう。この問題ではなぜ、ｘを含む断面積を積分したのでしょうか？

断面積 (a^2-x^2) に 厚さ dx を掛けた微小体積 dV をx方向に x = - a ~ a まで寄せ集めたものが体積積分
V=∫(-a→a)(a^2-x^2)dx = 2∫(0→a)(a^2-x^2)dx
表す意味なのです。

お礼

間違った計算が、横に倒した三角柱の体積になる。ということで自分の考えの間違いに気づきました。ありがとうございます。

回答No.3

kiha181-tubasa

他の回答者も適切に「解答」を述べておられるようです。
　しかし，質問者は計算がわからないのではなく，「なぜ，このようなことをしなければいけないのか」と感覚的に納得できないのだろうと推測しました。そこで，「なぜ」に対してだけお答えします。

　たしかに中心のところでの断面積はa^2となりますが，三角形の大きさは中心から離れれば離れるほど小さくなりますね。だから，断面積は「中心からどのくらい離れたか」で決まります。
　そこで，中心Oを原点とし，円の底面にない直角三角形頂点からの垂線の足の軌跡をｘ軸として，中心から離れた一般の位置にある三角形の断面図をｘの関数で表す必要があるのですね。

お礼

断面積の三角形が、底面の円の中心から離れるほど小さくなるのに、気付いていませんでした。ご説明ありがとうございます。

回答No.1

deshabari-haijo

高校数学の参考書には次のような記載があります。

〔断面積が与えられた立体の体積〕
立体をx軸上の点xにおいて、x軸に垂直な平面で切ったときの切り口の面積をS(x)とする。
この立体のa≦x≦bの範囲における部分の体積Vは
V=∫(a→b)S(x)dx

よって、この問題の場合には、x軸に垂直な平面で切ったときの切り口の面積がxの関数として表されるので（断面積がxの変化に伴って変化するので）、体積は上式によって求められます。
これが、積分というものです。

なお、着眼点として、「切り口の面積S(x)が、xの簡単な式で表さるように座標軸をとることが大切」とあります。

お礼

x軸に垂直な平面で切ったときの切り口の面積がxの関数として表されるので（断面積がxの変化に伴って変化するので）、は覚えておきます。ありがとうございます。