簡単に確率を求める方法

質問

「例えばサイコロ5つを振って、出目5以上が3つ以上出る確率」なんかはどう計算したらいいのでしょう。なるべく平易な表現かつ応用が効くようにお願いします。mだのnだの言われるとアレルギーが…。

回答No.8

asuncion · ベストアンサー

組合せの概念（要するに場合の数）を知らずに確率を計算するのは
無理があります。
通常、場合の数（順列、組合せ）を学んだ後に確率を学びます。
というわけで、まずは場合の数を自分のものにしましょう。

お礼

ご回答ありがとうございます。まずは順列について調べてみます。

回答No.9

noname#231998

ANo.3の回答者です。
ANo.3では、他の回答と被らないように、敢えて『余事象』の考え方をしました。
「すべての場合（事象）の起こる確率の和は1になる」ということを覚えておいてください。
『正攻法』で行くか『余事象』で行くかは、臨機応変に考えてください。
因みに、この質問では、いずれの考え方をしても、大差ありません。

では、本題に入ります。
なお、ANo.3と同様にサイコロ5つを(1)(2)(3)(4)(5)とします。
また、ANo.3とは視点を変えて、次のように場合分けします。

(a)
(1)～(3)のすべてが出目4以下の場合
(4)と(5)がともに出目5以上であっても、「出目5以上が3つ以上」にはならないので、この場合は除外します。（確率は0）

(b)
(1)～(3)のうちの1つが出目5以上の場合
「出目5以上が3つ以上」になるためには、(4)と(5)がともに出目5以上でなければならず、この確率は出目5以上になるのは(4)と(5)を除くと(1)～(3)の3通りであるから、
1/3×2/3×2/3×3×1/3×1/3=4/81－(ア)

(c)
(1)～(3)のうちの2つが出目5以上の場合
「出目5以上が3つ以上」になるためには、(4)と(5)のいずれか一方が出目5以上であるか、(4)と(5)がともに出目5以上でなければならず、この確率は(1)～(3)のうちの出目5以上になるもの2つの組合せは「(1)と(2)」「(1)と(3)」「(2)と(3)」の3通り、(4)と(5)のいずれか一方が出目5以上になるのは2通りであるから、
1/3×1/3×2/3×3×(1/3×2/3×2+1/3×1/3)=10/81－(イ)

(d)
(1)～(3)のすべてが出目5以上の場合
(4)と(5)の出目は何でもいいので、この確率は
1/3×1/3×1/3×1×1=1/27－(ウ)

以上から、求める確率は(ア)+(イ)+(ウ)となり、4/81+10/81+1/27=17/81（答え）

なお、この考え方のメリットとして、ANo.3では(1)～(5)のうちから2つを選ぶ選び方（組合せ）10通りを列挙しましたが、ここでは(c)の場合に(1)～(3)のうちから2つを選ぶ選び方（組合せ）３通りを列挙するだけで済むので、間違え難くなります。
もちろん、「C（コンビネーション）」の考え方を理解するに越したことはありません。

お礼

ご回答ありがとうございます。(b)は10回、(c)を15回ぐらい読み直しているのですが、式がなぜそうなっているのかがわかりません。…が、２/3は4以下が出る確率なのだろうとおぼろげながら予測が付きました。×3が出てくる理由はまだつかめないのですが…。
学力的には、諸事情で二次関数ぐらいまでの数学知識しかない状態です。ヒント0の状態から完全自力で数列の式（ｘ+（ｘ+1）+（ｘ+2）…の和を求める式）を作れたので（当時のメモが散逸して思い出せないのですが）、適正が全くないわけではないと思うのですが…。

回答No.7

staratras

No.2の解き方の説明を少しはしょり過ぎていたようなので補足します。

サイコロを一つ振ったとき、5以上(5か6）が出る確率は1/3、出ない、つまり5未満の確率は2/3で、その和は当然1です。ご質問の問題はサイコロを5個振る場合ですが、手始めに2個振る場合を考えてみます。（説明の都合上、サイコロに(1)(2)と番号を付けます。

すべての場合は次の4通りです。
１:(1)も(2)も5以上。２:(1)は5以上(2)は5未満。３:(1)は5未満(2)は5以上。４:(1)も(2)も5未満。
この確率を考えれば、
１は1/3×1/3=1/9
２は1/3×2/3=2/9
３は2/3×1/3=2/9
４は2/3×2/9=4/9
この4通りの確率の合計は1/9+2/9+2/9+4/9=1　ですが、これは下の式の中辺の各項そのものです。
(1/3+2/3）×(1/3+2/3）=1/3×1/3+1/3×2/3+2/3×1/3+2/3×2/3=1
つまりこの式が１から４の場合すべてを表現しているのです。

サイコロを区別せず、数だけに注目すれば、
１:2個とも5以上。２:1個が5以上でもう1個が5未満。３:2個とも5未満。の3通りで、その確率はそれぞれ、1/9、4/9(=2/9+2/9）、4/9です。　

今まで述べたことを文字式で表すと
サイコロを1回振って5以上(5または6）が出る確率をa、5未満(1,2,3,4)が出る確率をbとします。（a=2/6=1/3、b=4/6=2/3です）

ここで２個振る場合を考えると、(a+b)×(a+b)=a^2+2ab+b^2 の式で
a^2=1/9　は2個とも5以上が出る確率
2ab=4/9　は1個だけ5以上が出る確率
b^2=4/9　は5以上が1個も出ない確率　です。

これはサイコロを3個以上振る場合でも同様で、3個振る場合は(a+b)の3乗を、4個なら4乗を、5個なら5乗を考えればよいのです。
展開した各項(同類項をまとめる前）が起こり得るすべての場合を表現していて、
同類項をまとめて次数順に並べた各項の数値が、それぞれの場合の確率を示しています。この考え方は応用範囲が広いという利点があります。

お礼

ありがとうございます。今までの中で一番わかりやすかったです。(1/3+2/3）を分解するのは移項でしたでしょうか。なんだか、+と-が逆になる（？）という変な部分しか覚えてないのですが…。

回答No.6

asuncion

コンビネーションとべき乗は確率を計算するときに
必ずと言っていいほど登場します。苦手意識は絶対に克服しないと。
さて、今回の問題についてコンビネーションを使わないとすると…。

以下、5以上の目が出ることを○で、4以下の目が出ることを×で表わします。
1)出目5以上（つまり5か6、以下同様）がちょうど3回出る確率
5回のうちどこか3回で5以上、その他2回は4以下
これをコンビネーションを使わずに全部書き並べます。
○○○××
○○×○×
○○××○
○×○○×
○×○×○
○××○○
×○○○×
×○○×○
×○×○○
××○○○
いかがですか？ちゃんと10とおりになってますよね。5回のうちどの3回が○か
（どの2回が×か、と言いかえてもよい）ですので、5C3 = 5C2 = 10です。
で、1回の試行で5以上の目が出るのは5か6の2とおりですから、その確率は
2/6 = 1/3
一方、4以下の目が出るのは１～４の4とおりですから、その確率は
4/6 = 2/3

でもって、これらの話を式で書くと
5C3・(1/3)^3・(2/3)^2 = 10・4/(3^5) = 40/243

残りも同じ考え方です。

お礼

ご回答ありがとうございます。べき乗はともかく、そもそもコンビネーションという概念を知らないのです。

回答No.5

staratras

No.4の計算に2か所誤記がありました。下が訂正版です。（斜字部分を訂正）
なお、表の最後の行（赤字）は、サイコロ5つとも5以上が出る確率である（1/3）の5乗＝1/243　を1とした場合、サイコロ4個が5以上、3個が5以上、2個が5以上、1個が5以上、5以上の出目が0個の確率がその何倍になるかという数字です。

この解法は、ｎCｒなどの考え方を直接使わずに手早く計算する便法です。かえってわかりにくいと感じられる場合は、場合分けしてその一つ一つをコツコツ求めてください。

お礼

ご丁寧にありがとうございます。やはり、樹形図を書かないと私のレベルでは厳しいでしょうか…。

回答No.4

staratras

No.2です。考え方の基本はNo.2と同様ですが、簡単・効率的な計算法を考えてみました。

1行目から4行目までは「(a+b)の5乗」の各項の係数を計算したものです。係数を覚えているなら4行目から始めてかまいません。これがそれぞれの場合が何通りあるかを示しています。

次の行は5以上の目が5回出る確率（1/3）の5乗=1/243の何倍かという数字です。例えば5以上の目が4回それ以外が1回ならば、（1/3）1個のかわりに2倍の（2/3）を1個かけるので確率は2倍です。

次の6行目は「何通り」と「何倍」の積で、相対的な確率の比を示しています。

求める確率は5以上の目が3回以上出る確率なので、このうち1+10+40が全部の和（243）に占める割合です。

お礼

ご回答ありがとうございます。係数というのは、何かを計算するための基本部分でしたっけ。プログラムで言うならルーチンとかに当たる…。

回答No.3

noname#231998

サイコロ5つを(1)(2)(3)(4)(5)とします。
サイコロ1つについて、出目４以下になる確率は4/6=2/3、出目5以上になる確率は2/6=1/3
サイコロ5つが全て出目４以下になる確率は(2/3)^5=32/243
サイコロ5つのうち、出目４以下が4つで出目5以上が1つになる確率は、出目5以上になるサイコロが(1)～(5)の5通りになるので、(2/3)^4×(1/3)×5=80/243
サイコロ5つのうち、出目４以下が3つで出目5以上が2つになる確率は、出目5以上になるサイコロの組み合わせが「(1)と(2)」「(1)と(3)」「(1)と(4)」「(1)と(5)」「(2)と(3)」「(2)と(4)」「(2)と(5)」「(3)と(4)」「(3)と(5)」「(4)と(5)」の10通りになるので、(2/3)^3×(1/3)^2×10=80/243
求める確率は、上の3通りの場合以外の場合の起こる確率であるから、
1-(32/234+80/243+80/243)=1-192/243=1-64/81=17/81（答え）

お礼

ご回答ありがとうございます。ううん…やはり段階を追って理解するのがどうにも苦手なようで…さらに平易にできないものでしょうか？

回答No.2

staratras

サイコロを1回振って5以上(5または6）が出る確率をa、それ以外(1,2,3,4)
が出る確率をbとします。（もちろんa=2/6=1/3、b=4/6=2/3です）

ここで5回振る場合を考えると、
(a+b)×(a+b)×(a+b)×(a+b)×(a+b)=a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5 の式で

a^5=1/243　は5以上が5回出る確率
5a^4b=10/243　は5以上が4回出る確率
10a^3b^2=40/243　は5以上が3回出る確率　です。

求める確率はこの3つの場合の和だから
P=1/243+10/243+40/243=51/243=17/81　
「サイコロ5つを振って、出目5以上が3つ以上出る確率」は17/81です。

お礼

ご回答ありがとうございます。ただ、べき乗を使われるととたんに理解力が落ちてしまいます…

回答No.1

asuncion

1)出目5以上（つまり5か6、以下同様）がちょうど3回出る確率
5回のうちどこか3回で5以上、その他2回は4以下だから、
5C3・(2/6)^3・(4/6)^2 = 10・128/(6^5)
2)出目5以上がちょうど4回出る確率
5回のうちどこか4回で5以上、その他1回は4以下だから、
5C4・(2/6)^4・(4/6)^1 = 5・64/(6^5)
3)出目5以上がちょうど5回出る確率
5回すべてが5以上、4以下は0回だから
5C5・(2/6)^5・(4/6)^0 = 1・32/(6^5)
1)2)3)より、求める確率 = (1280 + 320 + 32)/(6^5) = 1632/7776 = 17/81

お礼

ご回答ありがとうございます。同じく、べき乗を使われるととたんに理解力が落ちてしまいます…あと、Cというのもよくわかりません