全ての事象が１回以上発生する確率

質問

ある試行の結果がn種類あり、それぞれ確率は1/nで、
m回の試行でn種類全てが１回以上発生する確率を求めたいです。
たとえば
サイコロをm回振って1の面～６の面まで全てが１回以上出る(n=6)と言うことです。
どのように求めるのか教えてください。

※宿題や課題ではありません。

回答No.6

Naoki_M · ベストアンサー

＃３です。＃４さんのご指摘の通り、＃３で書き込んだ(i)式に間違いがありました。正しくは以下の式です。
N(m+1,n+1)=(n+1){N(m,n)+N(m,n+1)}......(i)

表計算ソフトでの計算のしかたですが、私は次のように計算しました。セルの行番号がm、列がnです。
（１）1行目のセルに全て0を入力します。
（２）A列のセルに全て1を入力します。
（３）B2に　=COLUMN()*(A1+B1)　と入力して、求めたいm,nの範囲まで、この式をコピーします。
（４）Sheet2のA1に　=Sheet1!A1/COLUMN()^ROW()　と入力して、この式をコピーします。

これでSheet1に場合の数が、Sheet2に確率が表示されます。ただしm,nの値が大きくなると概数で表示され、誤差も大きくなります。

回答No.5

fuzisan3776

例題を使って計算方法を説明します。
　サイコロを６回振ったとき、いくつの目が出るか（例　１・１・１・２・２・４というふうに出たら、出た目は「１」と「２」と「４」の３つ）（順番の違いを無視しない）。

６つ出る出方は、１～６が１回ずつなので、１～６を並べ替えたものと考えられる。つまり、７２０通りである。

しかしこのやり方だと３つとか４つ出る出方の計算が難しい。

そのため、次のやり方をおすすめする。

１つ出る出方は「１が６回」、「２が６回」・・・「６が６回」なので６通り

２つ出る出方　まず、「１」と「２」のみが出ている出方を考える。サイコロを６回振って「１」と「２」のみが出る出方は２＾６＝６４通りである。しかしこの中には「１・１・１・１・１・１」と「２・２・２・２・２・２」という出方が含まれている。よって、「１」と「２」の２つが出る出方は６２通りである。「６つの目の中の２つ」は１５通りであるから、２つ出る出方の総数は６２×１５＝９３０通りである。

３つ出る出方　「１」と「２」と「３」が出る出方は３＾６＝７２９通りである。しかしこの中には１～３のうち１つおよび２つしか出ていないものも含まれている。１つしか出ていない出方は３通り、２つ出ている出方は、「１」と「２」が出ているものと「１」と「３」が出ているものと「２」と「３」が出ているものに分けられ、６２×３Ｃ２＝１８６通りとなる。そのため、「１」と「２」と「３」の３つが出ている出方は３＾６－３－６２×３Ｃ２＝５４０通りであり、３つ出る出方の総数は５４０×６Ｃ３＝１０８００通りである。

４つ出る出方　　４＾６－５４０×４Ｃ３－６２×４Ｃ２－４＝１５６０　　１５６０×６Ｃ４＝２３４００通り

５つ出る出方　（５＾６－１５６０×５Ｃ４－５４０×５Ｃ３－６２×５Ｃ２－５）×６Ｃ５＝１０８００通り

６つ出る出方　　６＾６－１８００×６Ｃ５－１５６０×６Ｃ４－５４０×６Ｃ３－６２×６Ｃ２－６＝７２０通り

確率論的には、１つ７７７６．０分の１　２つ５０．１６８分の１　３つ４．３２００分の１

４つ１．９９３８分の１分の１　５つ４．３２００分の１　６つ６４．８００分の１　となる（それぞれを出方の総数６＾６で割った値）。

回答No.4

eatern27

自信がないのに、恐縮ですが。

#3さんのN(n,m)についてですが、おそらく、
＞N(m+1,n+1)=(m+1){N(m,n)+N(m,n+1)}......(i)
の部分は、
N(m+1,n+1)=(n+1){N(m,n)+N(m,n+1)}
のような気がします。

あと、
N(m,n)=n^m+Σ[i=1 to n-1]nCi*i^m*(-1)^(n-i)
のような気がします。(少なくともn=4,m≦20では成立する)

なので、ご質問の確率は
P(m,n)=1+Σ[i=1 to n-1]nCi*(i/n)^m*(-1)^(n-i)
かも。

N(m,n)はn！で割り切れるので、そのことを念頭におけば、Σの項が上手く変形できるのかもしれませんね。

回答No.3

Naoki_M

＃１さんの回答で充分だと思いますが、試しに自分でも解いてみたので別解を投稿します。適当なmとnで検算してみたら＃１さんの式と同じ値になったのですが、もしかしたら私の答えは間違っているかもしれません。私の方法は面倒ですが、たくさんのm,nでの確率を計算しなければならない場合はこちらの方法がよいと思いました。

m回の試行でn種類全てが１回以上発生する場合の数をN(m,n)とします。求める確率は N(m,n)/n^mになります（m<nのときはN(m,n)=0）。

求める場合の数は、次の(I),(II)の２通りに分けられます。
(I) (m-1)回目までにちょうど(n-1)種類の目が出ていて、m回目に残りの目が出る。
(II) (m-1)回目までに全ての種類の目が出ていて、m回目にはどの目が出てもよい。

このことから、以下の式ができます。
N(m+1,n+1)=(m+1){N(m,n)+N(m,n+1)}......(i)

また、n=2のとき、n=mのときのN(m,n)はそれぞれ以下のようになります。
N(m,2)=2^m-2......(ii)
N(m,m)=m!......(iii)

(i),(ii),(iii)式から、小さいm,nから順に計算していけば求めたいm,nでの値が求められます。表計算ソフトなどを使うとよいと思います。ただし、m,nが大きくなるとN(m,n)がとても大きくなってしまうので注意が必要です。

正確な値を求める必要がなければ、パソコンで何度も繰り返しサイコロを振らせるプログラムを作成するという方法もあります。

回答No.2

k-katou

１から「n種類が１回以上発生しない確率」を引けばいいんじゃないですか？

回答No.1

masajiro

A={1,2,,,,,m},B={1,2,,,,,n}としAからBへの全射の数をZ(m,n)としたら
確率はZ(m,n)/n^m
ここでZ(m,n)=Σ[k=0,n](-1)^k*C(n,k)*(n-k)^m

＊すいません質問されても回答できません。