見かけによるか 否か

質問

(イ) -(1/4) Cos[\[Pi]/9] - 1/2 Sin[\[Pi]/18] + I (-(1/2) Cos[\[Pi]/18]
+ 1/4 Sqrt[3] Cos[\[Pi]/9] + 1/4 Sin[\[Pi]/9]) + 1/4 Sqrt[3] Sin[\[Pi]/9]
(ロ) -Sin[\[Pi]/18]
(ハ)Cos[(5*Pi)/9]

(1)上の3つの数は　「見かけ　は　異なるが　Q係数の　同一の　3次方程式の解であることを示して下さい」

(2) 獲た　3次方程式の解をαとすると他の解がQ係数の2次以下の多項式で表現可能だと
　　　　 少女　G,

　　　　 何を根拠に少女G が　そう断言するのか　根拠を　記して下さい；

　　　　 そして　いうだけ　番長に　終らず　具現過程を隠匿せず晒してください!;

回答No.1

jcpmutura · ベストアンサー

(イ)
α
=-(1/4)Cos[π/9]-(1/2)Sin[π/18]+I{-(1/2)Cos[π/18]+(1/4)(√3)Cos[π/9]+(1/4)Sin[π/9]}+(1/4)(√3)Sin[π/9]
=(1/4)(√3)Sin[π/9]-(1/4)Cos[π/9]-(1/2)Sin[π/18]+I{(1/4)(√3)Cos[π/9]+(1/4)Sin[π/9]-(1/2)Cos[π/18]}
=(1/2)[{(√3)/2}sin(π/9)-(1/2)cos(π/9)-sin(π/18)+i{(√3/2)cos(π/9)+(1/2)sin(π/9)-cos(π/18)}]
=(1/2)[cos(π/6)sin(π/9)-sin(π/6)cos(π/9)-sin(π/18)+i{cos(π/6)cos(π/9)+sin(π/6)sin(π/9)-cos(π/18)}]
=(1/2)[sin(π/9-π/6)-sin(π/18)+i{cos(π/6-π/9)-cos(π/18)}]
=(1/2)[-sin(π/18)-sin(π/18)+i{cos(π/18)-cos(π/18)}]
=-sin(π/18)

(ロ)
α=-sin(π/18)

(ハ)
α=cos(5π/9)=cos(π/2+π/18)=-sin(π/18)

(イ)=(ロ)=(ハ)=α=-sin(π/18)
だから
1/2=sin(π/6)
↓3倍角の公式から
1/2=[3-4{sin(π/18)}^2]sin(π/18)
↓x=-sin(π/18)とすると
1/2=-(3-4x^2)x
1/2=-3x+4x^3
↓左右を入れ替えると
4x^3-3x=1/2
↓両辺に2をかけると
8x^3-6x=1
↓両辺から1を引くと
8x^3-6x-1=0

(イ)=(ロ)=(ハ)=α=
-sin(π/18)
は3次方程式
8x^3-6x-1=0
の解である

8x^3-6x-1=2(x-α)(4x^2+4αx+4α^2-3)
だから
αの他の解は2次方程式
4x^2+4αx+4α^2-3=0
の解となる

4x^2+4αx+4α^2-3=0
x^2+αx+α^2-(3/4)=0
(x+α/2)^2=3(1-α^2)/4
(x-sin(π/18)/2)^2=3(1-{sin(π/18)}^2)/4
(x-sin(π/18)/2)^2=3({cos(π/18)}^2)/4
x=(1/2)sin(π/18)/2±(√3/2)cos(π/18)
x=sin(π/6)sin(π/18)/2±cos(π/6)cos(π/18)
∴αの他の解は
x=cos(π/9).又は.x=-cos(2π/9)

αの他の解を
β=cos(π/9)
γ=-cos(2π/9)
とすると

β=cos(π/9)=1-2{sin(π/18)}^2
↓∴βがQ係数のαの2次式
β=cos(π/9)=1-2α^2
で表される

γ=-cos(2π/9)=1-2{cos(π/9)}^2
↓
γ
=1-2β^2
=1-2(1-2α^2)^2
=1-2(1-4α^2+4α^4)
=-1+8α^2-8α^4
↓8α^3=6α+1
=-1+8α^2-α(6α+1)
=-1+8α^2-6α^2-α
=2α^2-α-1
↓∴γがQ係数のαの2次式
γ=-cos(2π/9)=2α^2-α-1
で表される