高校数学II

質問

この続きのやり方教えてください

回答No.1

asuncion · ベストアンサー

y = f(x) = x^2 - 3x
f'(x) = 2x - 3
C上の点(0, 0)における接線の傾きはf'(0) = -3
よって直線lの式はy = -3x
lと直交する直線の傾きは1/3
直線の式mをy = x/3 + bとおく。このとき、Cとmの共有点は
1個だけであるから、x^2 - 3x = x/3 + bより3x^2 - 10x - 3b = 0
という2次方程式は重解を持つ。よって判別式 = 0より
100 + 36b = 0, b = -25/9
mの式はy = x/3 - 25/9
lとmの交点のx座標は-3x = x/3 - 25/9より-27x = 3x - 25, 30x = 25, x = 5/6
Cとmの接点のx座標はx^2 - 3x = x/3 - 25/9より9x^2 - 30x + 25 = 0
(3x - 5)^2 = 0, x = 5/3
よってCとlとmで囲まれた部分の面積は
∫[0→5/6](x^2 - 3x - (-3x))dx + ∫[5/6→5/3](x^2 - 3x - x/3 + 25/9)dx
= ∫[0→5/6](x^2)dx + ∫[5/6→5/3](x^2 - 10x/3 + 25/9)dx
= [x^3/3][0→5/6] + [x^3/3 - 5x^2/3 + 25x/9][5/6→5/3]
= 125/648 + (125/81 - 125/27 + 125/27 - (125/648 - 125/108 + 125/54))
= 125/81 + 125/108 - 125/54
= (125*4 + 125*3 - 125*6)/324
= 125/324

お礼

ありがとうございます。

回答No.2

asuncion

若干冗長な部分がありました。
＞このとき、Cとmの共有点は
＞1個だけであるから、x^2 - 3x = x/3 + bより3x^2 - 10x - 3b = 0
＞という2次方程式は重解を持つ。よって判別式 = 0より
＞100 + 36b = 0, b = -25/9
ここでb = -25/9であることがわかったので、
Cとmの接点のx座標を求めるには3x^2 - 10x - 3b = 0
にb = -25/9を代入すればよかった。
3x^2 - 10x + 25/3 = 0, 9x^2 - 30x + 25 = 0, (3x - 5)^2 = 0, x = 5/3
まあ、全体に与える影響はありません。答も変わりません。

お礼

ありがとうございます。