高校数学II 証明

質問

次の証明をお願いします。
|a|/(1+|a|+|b|) + |b|/(1+|a|+|b|) ≦ |a| /(1+|a|) +|b|/(1+|b|)

回答No.2

atkh404185 · ベストアンサー

│a│>=0, │b│>=0 より

　　1+│a│<=1+│a│+│b│ ・・・・・・（ア）

両辺を (1+│a│+│b│)(1+│a│)>0 で割って

　　1/ (1+│a│+│b│)<=1/ (1+│a│)

両辺に │a│>=0 を掛けて

　　│a│/ (1+│a│+│b│)<=│a│/ (1+│a│) ・・・・・・(1)

また、

　　1+│b│<=1+│a│+│b│　・・・・・・（イ）

両辺を (1+│a│+│b│)(1+│b│)>0 で割って

　　1/ (1+│a│+│b│)<=1/ (1+│b│)

両辺に │b│>=0 を掛けて

　　│b│/ (1+│a│+│b│)<=│b│/ (1+│b│) ・・・・・・(2)

(1),(2)より

　　│a│/ (1+│a│+│b│)+│b│/ (1+│a│+│b│)<=│a│/ (1+│a│)+│b│/ (1+│a│)

等号成立は、（ア）、（イ）より

　　a=0, b=0 のとき

（証明終わり）

（ア）、（イ）の式が作れば、

逆数をとって辺々を加えればよいと思います。

お礼

回答ありがとうございました。
とても丁寧な解説でよく分かりました。
ありがとうございました。

回答No.3

bran111

a=0では両辺が|b|/(1++|b|) となり=が成立。b=0も同様。 全て絶対値なのでc>0,d>0.の条件下に|a|=c,|b|=dで表す。証明すべき式は
　　c/(1+c+d)+d/(1+c+d)≦c/(1+c)+d/(1+d)
両辺に(1+c+d)(1+c)(1+d)>0をかけると
　　(c+d)(1+c)(1+d)≦(1+c+d)[c(1+d)+d(1+c)}
展開して整理すると
　　0≦c^2d+cd^2+2cd
cd>0で割ると
　　c+d+2≧0
これはc>0,d>0より明らか。

なんだか問題が間違っているような気がする。

お礼

回答ありがとうございました。

回答No.1

151A48

|b|>=0,|a|>=0　をそれぞれ左辺の分母から除いて分母を小さくしているから。

補足

回答ありがとうございました。
これは、単純に回答してくださったように、考えればよろしいのでしょうか。
ある問題の解説のところに、「（上記の質問の）不等式を証明させる問題が、時々出題される」と書いてあったので、どのように証明したらいいのかわからなかったのですが、式を変形したりして証明しなくてもよろしいでしょうか。