何処で 最小値

質問

a/α + b/β = 1, 0 < α, 0 < β, 0 < a, 0 < bのとき α+Sqrt[α^2+β^2]+βの最小値をお願いします。

回答No.1

info222_ · ベストアンサー

(0 < α, 0 < β, 0 < a, 0 < b)
α+Sqrt[α^2+β^2]+β=k (>0) ... (1) とおいて
a/α + b/β = 1より β=b/(1-a/α) (>0) ...(2)
(2) を(1)に代入して整理すると
2(k-b)α^2-k(k-2a-2b)α+ak^2=0 ...(3)
α(>0)の解が存在する条件から
k^2 -4(a+b)k+4(a^2+b^2)>=0
k>0より
k>=2(a+b+2Sqrt(2ab)) ... (4)
kの最小値=2(a+b+Sqrt(2ab)) ...(5)
この時(3),(2)より
α={2a(a+2b)+(3a+b)Sqrt(2ab)}/{2a+b+2Sqrt(2ab)},
β= b{2a(a+2b)+(3a+b)Sqrt(2ab)}/{3ab+(a+b)Sqrt(2·a·b)}

α+Sqrt[α^2+β^2]+βの最小値k=2(a+b+Sqrt(2ab))

お礼

謝謝。

別解たちをもご教示ください；