aからbを産出し

質問

http://userdisk.webry.biglobe.ne.jp/020/691/47/N000/000/006/150063833429111189180.gif

(1) は在り過ぎますがお願いします；
(2) は 「●ありそで, 〇なさそで...」です が　お願いします;
(3)もお願いします；
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スタートのa を　a[n+1]=(a[n]+3)/(a[n]+1),a[1]=1 にかえて　(1)(2)(3)をお願いします;

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　 a から　b を産出する際　b を　↓　に　かえて　定義し,　(1)(2)(3)をお願いします;

b(n)=Sum[(k^2*a[k]),{k,1,n}]/Sum[k^2,{k,1,n}]
　(1)
　(2)
　(3)

　(今回のような　b に　邂逅されたことが御座いますか?)

回答No.1

jcpmutura · ベストアンサー

a(1)=5…(01)
a(n+1)={4a(n)-9}/{a(n)-2}…(02)
(n=1,2,3,…)で定める
b(n)=[Σ_{k=1～n}ka(k)]/(Σ_{k=1～n}k)
(n=1,2,3,…)と定める

(1)
c(n)=1/{a(n)-3}…(11)
として
両辺に{a(n)-3}/c(n)をかけると
a(n)-3=1/c(n)
↓両辺に3を加えると
a(n)=3+1/c(n)…(12)
↓(11)のnに1を代入すると(01)から
c(1)=1/{a(1)-3}=1/(5-3)=1/2…(13)

(11)のnをn+1に置き換えると
c(n+1)
=1/{a(n+1)-3}
↓(02)から
=1/[{4a(n)-9}/{a(n)-2}-3]
={a(n)-2}/[4a(n)-9-3{a(n)-2}]
={a(n)-2}/{4a(n)-9-3a(n)+6}
={a(n)-2}/{a(n)-3}
={a(n)-3+1}/{a(n)-3}
=1+1/{a(n)-3}
↓(11)から
=1+c(n)
↓
c(n+1)=1+c(n)
両辺からc(n)を引くと
c(n+1)-c(n)=1
nをkに置き換えると
c(k+1)-c(k)=1
↓両辺をk=1～n-1まで変化させたものを加えると
Σ_{k=1～n-1}{c(k+1)-c(k)}=n-1
c(n)-c(1)=n-1
↓(13)から
c(n)-1/2=n-1
↓両辺に1/2を加えると
c(n)=n-1+1/2=n-1/2
↓(12)から
a(n)=3+1/c(n)=3+1/(n-1/2)=3+2/(2n-1)
∴
a(n)=3+2/(2n-1)

(2)
b(n)
=[Σ_{k=1～n}ka(k)]/(Σ_{k=1～n}k)
=[Σ_{k=1～n}k{3+2/(2k-1)}]/{n(n+1)/2}
=2[Σ_{k=1～n}{3k+2k/(2k-1)}]/{n(n+1)}
=2[Σ_{k=1～n}{3k+{2k-1+1}/(2k-1)}]/{n(n+1)}
=2[Σ_{k=1～n}{3k+1+1/(2k-1)}]/{n(n+1)}
=
3+2/(n+1)+2[Σ_{k=1～n}{1/(2k-1)}]/{n(n+1)}

(3)
1/(2k+1)<∫_{k～k+1}{1/(2x-1)}dx<1/(2k-1)
↓各辺をk=1～nまで加えると
Σ_{k=1～n}1/(2k+1)<∫_{1～n+1}{1/(2x-1)}dx<Σ_{k=1～n}{1/(2k-1)}
Σ_{k=1～n}1/(2k+1)<{log(2n+1)}/2<Σ_{k=1～n}{1/(2k-1)}…(31)
↓左辺でk=j-1とすると
Σ_{j=2～n+1}1/(2j-1)<{log(2n+1)}/2
↓Σ_{k=2～n}1/(2k-1)<Σ_{j=2～n+1}1/(2j-1)だから
Σ_{k=2～n}1/(2k-1)<{log(2n+1)}/2
↓両辺に1を加えると
Σ_{k=1～n}1/(2k-1)<1+{log(2n+1)}/2
↓(31)の右式とこれから
{log(2n+1)}/2<Σ_{k=1～n}{1/(2k-1)}<1+{log(2n+1)}/2
↓各辺に2/{n(n+1)}をかけて3+2/(n+1)を加えると
3+2/(n+1)+log(2n+1)/{n(n+1)}<3+2/(n+1)+2Σ_{k=1～n}{1/(2k-1)}/{n(n+1)}<3+2/(n+1)+{2+log(2n+1)}/{n(n+1)}
↓(2)から
3+2/(n+1)+log(2n+1)/{n(n+1)}<b(n)<3+2/(n+1)+{2+log(2n+1)}/{n(n+1)}
↓各辺のlim_{n→∞}をとると
lim_{n→∞}[3+2/(n+1)+log(2n+1)/{n(n+1)}]≦lim_{n→∞}b(n)≦lim_{n→∞}[3+2/(n+1)+{2+log(2n+1)}/{n(n+1)}]
↓lim_{n→∞}[3+2/(n+1)+log(2n+1)/{n(n+1)}]=3
↓lim_{n→∞}[3+2/(n+1)+{2+log(2n+1)}/{n(n+1)}]=3だから
3≦lim_{n→∞}b(n)≦3
∴
lim_{n→∞}b(n)=3
---------------------------------
2
(1)
a[1]=1
a[n+1]=(a[n]+3)/(a[n]+1)
c[n]=-(2+√3)/(a[n]-√3)
とすると
c[1]=(2+√3)(√3+1)/2=(5+3√3)/2

a[n]-√3=-(2+√3)/c[n]
a[n]=√3-(2+√3)/c[n]

c[n+1]
=1/(a[n+1]-√3)
=1/{(a[n]+3)/(a[n]+1)-√3}
=(a[n]+1)/{(1-√3)a[n]+3-√3}
={(-1-√3)/2}(a[n]+1)/(a[n]-√3)
={(-1-√3)/2}(a[n]-√3+√3+1)/(a[n]-√3)
={(-1-√3)/2}{1+(√3+1)/(a[n]-√3)}
=(-1-√3)/2-(2+√3)/(a[n]-√3)
=c[n]-(1+√3)/2

c(n)
=(5+3√3)/2-(n-1)(1+√3)/2
=3+2√3-n(1+√3)/2

a[n]
=√3-(2+√3)/c[n]
=√3-(2+√3)/{3+2√3-n(1+√3)/2}
=√3-(-1+√3)(2+√3)/{(-1+√3)(3+2√3)-n}
=√3+(1+√3)/(n-3-√3)

(2)
b(n)
=[Σ_{k=1～n}ka(k)]/(Σ_{k=1～n}k)
=[Σ_{k=1～n}k{√3+(1+√3)/(k-3-√3)}]/{n(n+1)/2}
=2[Σ_{k=1～n}{k√3+(1+√3)k/(k-3-√3)}]/{n(n+1)}
=2[Σ_{k=1～n}{k√3+(1+√3)(k-3-√3+3+√3)/(k-3-√3)}]/{n(n+1)}
=2(Σ_{k=1～n}[k√3+(1+√3){1+(3+√3)/(k-3-√3)}])/{n(n+1)}
=2[Σ_{k=1～n}{k√3+(1+√3)+2(3+2√3)/(k-3-√3)}])/{n(n+1)}
=
√3+2(1+√3)/(n+1)
-4(3+2√3)(2-√3)/{n(n+1)}
-2(3+2√3)(-1+√3)/{n(n+1)}
-4(2+√3)/{n(n+1)}
-2(3+2√3)(1+√3)/{n(n+1)}
+4(3+2√3)[Σ_{k=5～n}{1/(k-3-√3)}])/{n(n+1)}
=
√3+2(1+√3)/(n+1)-(32+20√3)/{n(n+1)}+4(3+2√3)[Σ_{k=5～n}{1/(k-3-√3)}])/{n(n+1)}

(3)
√3+2(1+√3)/(n+1)-(32+20√3)/{n(n+1)}+4(3+2√3)log{(n-2-√3)/5}/{n(n+1)}
<
b(n)
<
√3+2(1+√3)/(n+1)-(32+20√3)/{n(n+1)}+4(3+2√3)[1/(2-√3)+log{(n-2-√3)/5}]/{n(n+1)}

lim_{n→∞}√3+2(1+√3)/(n+1)-(32+20√3)/{n(n+1)}+4(3+2√3)log{(n-2-√3)/5}/{n(n+1)}
≦
lim_{n→∞}b(n)
≦
lim_{n→∞}√3+2(1+√3)/(n+1)-(32+20√3)/{n(n+1)}+4(3+2√3)[1/(2-√3)+log{(n-2-√3)/5}]/{n(n+1)}

√3≦lim_{n→∞}b(n)≦√3

lim_{n→∞}b(n)=√3
---------------------------------
3
b(n)=(Σ_{k=1～n}k^2*a[k])/(Σ_{k=1～n}k^2)
(2)
b(n)
=(Σ_{k=1～n}k^2*a[k])/(Σ_{k=1～n}k^2)
=[Σ_{k=1～n}k^2{3+2/(2k-1)}]/(Σ_{k=1～n}k^2)
=3+3/(2n+1)+3/{(n+1)(2n+1)}+[3Σ_{k=1～n}{1/(2k-1)}]/{n(n+1)(2n+1)}

(3)

3+3/(2n+1)+3/{(n+1)(2n+1)}+{3log(2n+1)}/{2n(n+1)(2n+1)}
<
b(n)
<
3+3/(2n+1)+3/{(n+1)(2n+1)}+3[1+{log(2n+1)}/2]/{n(n+1)(2n+1)}

lim_{n→∞}3+3/(2n+1)+3/{(n+1)(2n+1)}+{3log(2n+1)}/{2n(n+1)(2n+1)}
≦
lim_{n→∞}b(n)
≦
lim_{n→∞}3+3/(2n+1)+3/{(n+1)(2n+1)}+3[1+{log(2n+1)}/2]/{n(n+1)(2n+1)}

3≦lim_{n→∞}b(n)≦3

lim_{n→∞}b(n)=3