図の悶題

質問

https://userdisk.webry.biglobe.ne.jp/020/691/47/N000/000/007/155049846395875416180.gif

回答No.4

staratras

No.3の回答で明らかなように、AF=1を求めるのにあたり、二等辺三角形ABCの底角が80度という条件は使わなくても済むということは、底角の大きさによらないということです。下の左の図は底角が65度の場合です。底角が60度未満の場合にはFはABの延長上にあってAF=1となります。

∠BED=∠BFCの値を求めるのは、底角が60度以上なら下の右のような単純な図で考えれば十分です。底角ABC=θ度とし、∠BCF＝x度とすると、AB=1/(2cosθ) BF=AB-AF=1/(2cosθ)-1
FH=BFsinθ={(1-2cosθ)/(2cosθ)}sinθ、HC=1/2+sin(90°-θ)=(1/2)+cosθ　だから
tanx=FH/HC=tanθ・{(1-2cosθ)/(1+2cosθ)}
つまり、x=arctan[tanθ・{(1-2cosθ)/(1+2cosθ)}
∠BFC=180°-θ-arctan[tanθ・{(1-2cosθ)/(1+2cosθ)}]

ご質問の問題の場合はθ=80°を代入した
100°-arctan[tan80°・{(1-2cos80°)/(1+2cos80°)}] が答えになります。…（１）

「ちょーっと待ったー」とヒゲじいの声、「それって30度じゃありませんでしたか」そうなんです。No.1の回答に書いた通りです。tan80°・{(1-2cos80°)/(1+2cos80°)}=tan70°になることは関数電卓などで計算すれば容易にわかるのですが、（１）をいくら睨んでも気づかないかもしれません。三角関数を使って計算すれば何でも簡単にわかるというものでもなさそうです。

回答No.3

staratras

No.1です。1の回答でAFの長さを求めるとき、以下のように計算すれば具体的にxの値を代入する必要はありませんね。

三角形ABCと三角形DGCは相似だから、AB:BC=DG:GC より、 AB:1=x:(1-x)　∴AB=x/(1-x)

三角形AFCと三角形AEDは相似だからAF:AC(AB)=AE:AH より
AF:x/(1-x)=x:(x/(1-x)-x)
AF:x/(1-x)=x:(x^2/(1-x))
AF・(x^2/(1-x))=(x^2/(1-x))
∴AF=1

回答No.2

staratras

No.1の回答で証明を省略した部分「CD=AE=xとすると、下の図でxと記入した線分の長さはすべてxとなる」の補足です。以下計算式中では、°(度）表記を略します。

ABとDGは平行なので図の右下の三角形DGCは三角形ABCと相似な二等辺三角形となり、DG=CD=xです。
また∠DGC=80°で、∠DGC=∠DBG+∠BDG(外角）∠DBG=40°から∠BDG=40°となり三角形GDBはGD=GBの二等辺三角形なので、DG=BG=x　です。

少し面倒なのは、三角形ABCの辺CA上にEH=xとなるような点Hを取ると、HC=2x　となることの証明ですが。積→和の公式などを活用して根気よく計算するだけです。AH=(2cos20)xだから
HC=AC-AH=1/(2cos80)-{(2cos20)/(2cos80+1)}
=(2cos80+1-2cos20cos80)/(2cos80(2cos80+1))
={2cos80+1-2(cos100+cos60)}/{(2cos80)(2cos80+1)}
={2cos80+1-2(-cos80+1/2)}/{(2cos80)(2cos80+1)}
=4cos80/ {(2cos80)(2cos80+1)}
=2/(2cos80+1)=2x

回答No.1

staratras

興味深い問題ですね。一部三角関数を使った回答です。もっと幾何だけを活用したエレガントな解法があるかも知れません。

Dを通り、ABに平行な補助線を引きBCとの交点をGとする。
CD=AE=xとすると、下の図でxと記入した線分の長さはすべてxとなる(証明略）
(1/2)/AB=cos80°　よりAB=1/2cos80°
三角形ABCと三角形DGCは相似だから、
AB:BC=DG:GC より、 1/2cos80°:1=x:(1-x)
これを解いて、x=1/(2cos80°+1)

三角形AFCと三角形AEDは相似だから
AF:AC=AE:AH より　AF:1/2cos80°=1/(2cos80°+1):(1/2cos80°-(1/(2cos80°+
1)) これを解いて　AF=1

三角形EHAは底角が20度の二等辺三角形となるから∠EHA=20度、
したがって∠HED+∠HDE=20度で(外角だから）、
三角形HEDはHE=HDの二等辺三角形だから∠HED=10度

よって∠BED=180°-∠AED-∠HED=180°-140°-10°=30°　　

答え　AF=1　∠BED=30度