{a+b+c}^3-{a^3+b^3+c^3}

質問

{a+b+c}^(2n+1)-{a^(2n+1)+b^(2n+1)+c^(2n+1)}

(ただし、n=1,2,3,4,5)

を因数分解するにはどうしたらよいのでしょうか。

回答No.1

nag0720

{a+b+c}^(2n+1)-{a^(2n+1)+b^(2n+1)+c^(2n+1)}

a=-bとかa=-cと置けば0になることから、因数定理より、
(a+b)(b+c)(c+a)を因数に持つことが分かります。

n=1,2のときは、
(a+b+c)^3-(a^3+b^3+c^3)=3(a+b)(b+c)(c+a)
(a+b+c)^5-(a^5+b^5+c^5)=5(a+b)(b+c)(c+a)(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca)
となることは少し計算すれば分かるでしょう。

nが3以上の場合は計算が大変なので、別の方向で考えてみます。

x=(a+b)/2、y=(b+c)/2、z=(c+a)/2　とおけば、
a+b+c=x+y+z、a=y+z-x、b=z+x-y、c=x+y-z　となるので、
与式={x+y+z}^(2n+1)-{(y+z-x)^(2n+1)+(z+x-y)^(2n+1)+(x+y-z)^(2n+1)}
=(x+y+z)^(2n+1)+(x-y-z)^(2n+1)+(y-z-x)^(2n+1)+(z-x-y)^(2n+1)

多項定理より、
(x+y+z)^(2n+1)=Σ(2n+1)!/(p!q!r!)*x^p*y^q*z^r
(x-y-z)^(2n+1)=Σ(2n+1)!/(p!q!r!)*x^p*(-y)^q*(-z)^r
(y-z-x)^(2n+1)=Σ(2n+1)!/(p!q!r!)*(-x)^p*y^q*(-z)^r
(z-x-y)^(2n+1)=Σ(2n+1)!/(p!q!r!)*(-x)^p*(-y)^q*z^r
（p+q+r=2n+1 、 p,q,r≧0）

2n+1は奇数なので、p,q,rはすべて奇数か、または、１つだけ奇数で２つが偶数です。

これらの４つの式を足すと、
p,q,rが１つだけ奇数で２つが偶数の場合は相殺されて０になるので、
すべて奇数の場合だけが残ります。

p,q,rを新たに2p+1,2q+1,2r+1とすると、４つの式の合計は、
4Σ(2n+1)!/((2p+1)!(2q+1)!(2r+1)!)*x^(2p+1)*y^(2q+1)*z^(2r+1)
=4xyzΣ(2n+1)!/((2p+1)!(2q+1)!(2r+1)!)*x^(2p)*y^(2q)*z^(2r)
=(a+b)(b+c)(c+a)Σ(2n+1)!/((2p+1)!(2q+1)!(2r+1)!2^(2n-1))*(a+b)^(2p)*(b+c)^(2q)*(c+a)^(2r)
（p+q+r=n-1 、 p,q,r≧0）

n=1のときは、(p,q,r)=(0,0,0)なので、
=(a+b)(b+c)(c+a)(3!/2)=3(a+b)(b+c)(c+a)

n=2のときは、(p,q,r)=(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0)なので、
=(a+b)(b+c)(c+a)(5!/(3!*2^3))((a+b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2)
=5(a+b)(b+c)(c+a)(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca)

n=3のときは、(p,q,r)=(0,0,2),(0,2,0),(2,0,0),(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0)なので、
=(a+b)(b+c)(c+a){(7!/(5!*2^5))((a+b)^4+(b+c)^4+(c+a)^4)+(7!/(3!3!*2^5))((a+b)^2(b+c)^2+(b+c)^2(c+a)^2+(c+a)^2(a+b)^2))}
=7(a+b)(b+c)(c+a)(a^4+b^4+c^4+3a^2b^2+3b^2c^2+3c^2a^2+2a^3b+2b^3c+2c^3a+2ab^3+2bc^3+2ca^3+5a^2bc+5ab^2c+5abc^2)

n=4のときの(p,q,r)の組み合わせは(0,0,3),(0,1,2),(1,1,1)の3種10通り
n=5のときの(p,q,r)の組み合わせは(0,0,4),(0,1,3),(0,2,2),(1,1,2)の4種15通り
となるので、これを使って計算すればなんとかなるでしょう。

計算量が大変なのでここまででやめておきます。

お礼

ありがとうございます。

{a+b+c}^(2n+1)-{a^(2n+1)+b^(2n+1)+c^(2n+1)}
はいつでも、X=(a+b)、Y=(b+c)、Z=(c+a)を新しい3変数として書き表すことができ、さらに、X、Y、Zの対称式にもなっているのですね。それはすごいと思いました。

別方面では、変数a、b、cの対称式だから、(a+b+c)、(ab+bc+ca)、abcを新しい3変数として書き表すこともできると思います。

{a+b+c}^(2n+1)-{a^(2n+1)+b^(2n+1)+c^(2n+1)}=0
をabc空間内の曲面だとか、整数解(a,b,c)の不定方程式と見なしたときに何かの役に立つかもしれないですね。

因数分解としては、nが何であっても、
(a+b)(b+c)(c+a)(もうひとつ)
というパターンだけになっていそうだと予想できそうです。確信はないです。