数学を教えてください

質問

次の式を計算し、簡単にしなさい。

(1)x+5/x+4-x+4/x+3-x+2/x+1+x+1/x

(2)(a^2+b^2/a^2-b^2 - a^2-b^2/a^2+b^2)/a+b/a-b-a-b/a+b

(3)x^3/x-1/x+1/x

というものです。
一応見にくいと思うので画像つけます。
答えは
(1)6(x+2)/x(x+1)(x+3)(x+4)

(2)ab/a^2+b^2

(3)x^2+1

となるようです。
どなたか教えてください。

回答No.5

f272

> 自分は愚直に計算したけど、もっといい方法があるかもしれない。

(x+5)/(x+4)-(x+4)/(x+3)-(x+2)/(x+1)+(x+1)/x
=1+1/(x+4)-1-1/(x+3)-1-1/(x+1)+1+1/x
=1/(x+4)-1/(x+3)-1/(x+1)+1/x
=(2x+4)/(x(x+4))-(2x+4)/((x+1)(x+3))
=(2x+4)(1/(x(x+4))-1/((x+1)(x+3)))
=(2x+4)(3/(x(x+4)(x+1)(x+3)))
=6(x+2)/(x(x+1)(x+3)(x+4))

回答No.4

noname#227255

(1)
x+4=a、x+1=bとおくと、
与式
=(a+1)/a-a/(a-1)-(b+1)/b+b/(b-1)
=(a+1)/a-a/(a-1)-{(b+1)/b-b/(b-1)}
ここで、
(a+1)/a-a/(a-1)={(a+1)(a-1)-a^2}/a(a-1)=-1/a(a-1)
(b+1)/b-b/(b-1)は、(a+1)/a-a/(a-1)におけるaをbに置き換えたものであるから、
与式
=-1/a(a-1)-{-1/b(b-1)}
=-1/a(a-1)+1/b(b-1)
={-b(b-1)+a(a-1)}/a(a-1)b(b-1)
={(a^2-b^2)-(a-b)/a(a-1)b(b-1)
={(a+b)(a-b)}-(a-b)}/a(a-1)b(b-1)
=(a-b)(a+b-1)/a(a-1)b(b-1)
あとは、aとbを元に戻すと、
与式
={(x+4)-(x+1)}{(x+4)+(x+1)-1)}/(x+4)(x+3)(x+1)x
=3(2x+4)/x(x+1)(x+3)(x+4)
=6(x+2)/x(x+1)(x+3)(x+4)

(2)
与式の分母と分子に、
a^4-b^4=(a^2+b^2)(a^2-b^2)=(a^2+b^2)(a+b)(a-b)
をかけると、
与式
={(a^2+b^2)^2-(a^2-b^2)^2}/{(a^2+b^2)(a+b)^2-(a^2+b^2)(a-b)^2}
={(a^2+b^2)+(a^2-b^2)}{(a^2+b^2)-(a^2-b^2)}/(a^2+b^2){(a+b)^2-(a-b)^2}
=2a^2*2b^2/(a^2+b^2){(a+b)+(a-b)}{(a+b)-(a-b)}
=4a^2b^2/{(a^2+b^2)*2a*2b}
=4a^2b^2/4ab(a^2+b^2)
=ab/(a^2+b^2)

(3)
x+1/x=(x^2+1)/xであるから、与式の分母と分子に(x^2+1)/xをかけると
与式
=x^3*(x^2+1)/x/{(x*(x^2+1)/x-1}
=x^2(x^2+1)/(x^2+1-1)
=x^2(x^2+1)/x^2
=x^2+1

回答No.3

asuncion

＞(1)
＞第1項と第2項を整理すると、1/(x+4) - 1/(x+3)
＞第3項と第4項を整理すると、1/x - 1/(x+1)
まあここまではいいでしょう。

＞通分すると、分子 = 6x + 12 = 6(x + 2)、分母 = x(x+1)(x+3)(x+4)
分母はいいでしょう。分子の計算ははしょりすぎであった。
自分は愚直に計算したけど、もっといい方法があるかもしれない。
x(x+1)(x+3) - x(x+4)(x+1) + (x+4)(x+3)(x+1) - x(x+4)(x+3)
= x(x+1)(x+3-x-4) + (x+4)(x+3)(x+1-x)
= -x(x+1) + (x+4)(x+3)
= -x^2 - x + x^2 + 7x + 12
= 6x + 12

回答No.2

asuncion

(3)
x + 1/x = (x^2+1)/x
分母 = x - x/(x^2+1) = x^3/(x^2+1)
よって、与式 = x^2+1

回答No.1

asuncion

(1)
第1項と第2項を整理すると、1/(x+4) - 1/(x+3)
第3項と第4項を整理すると、1/x - 1/(x+1)
通分すると、分子 = 6x + 12 = 6(x + 2)、分母 = x(x+1)(x+3)(x+4)

(2)
分子の分子 = (a^2+b^2)^2 - (a^2-b^2)^2 = 4a^2b^2
分子の分母 = (a^2-b^2)(a^2+b^2)
分母の分子 = (a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab
分母の分母 = a^2 - b^2
整理すると、ab/(a^2+b^2)