漸化式の問題がわかりません

質問

Sn=2An-nであるとき、{An}の一般項を求めよ
という問題と、{An}の一般項をBnで置き換えて求める問題がわかりません。
解き方を教えて下さい。
よろしくお願いします。

問題の画像:http://i.imgur.com/KeNUP5r.jpg

回答No.2

上野 尚人（@uenotakato） · ベストアンサー

与えられた漸化式にn=1を代入して S(1)=2a(1) - 1
S(1)=a(1) より a(1)=1 とわかる

ここで、与えられた漸化式でnの代わりにn+1を代入して
S(n+1) = 2a(n+1) - (n+1)
これと、もとの漸化式
S(n) = 2a(n) - n
の差をとって
S(n+1) - S(n) = 2a(n+1) - 2a(n) - 1
ここで S(n+1) - S(n) = a(n+1) より
a(n+1) = 2a(n+1) - 2a(n) - 1
よって
a(n+1) = 2a(n) + 1
変形して
a(n+1) +1 = 2( a(n) +1 )
よって { a(n)+1 } は公比2の等比数列
その初項は a(1)+1 = 2 なので
a(n) + 1 = 2^n
よって a(n) = 2^n - 1 …（答）

お礼

回答ありがとうございます。
わかりやすい解説、ありがとうございました！

回答No.1

asuncion

Sn = 2An - n
S1 = A1 = 2A1 - 1, A1 =1
S2 = A1 + A2 = 1 + A2 = 2A2 - 2, A2 = 3
S3 = A1 + A2 + A3 = 4 + A3 = 2A3 - 3, A3 = 7
S4 = A1 + A2 + A3 + A4 = 11 + A4 = 2A4 - 4, A4 = 15
このあたりまででAn = 2^n - 1ではないか、というあたりがつきます。
あとは数学的帰納法か何かで証明できるのではないでしょうか。

お礼

回答ありがとうございます。