埼玉医科大学（2016 後期） 数学です

質問

過去問を解いていてわからないところがあります。
添付した写真で、問２になります。

宜しくお願い致します。

回答No.1

tetra_o · ベストアンサー

まず関数f_n(x)がどのような関数か考えてみますと、これは、

　1. 関数f_0(x)をy軸方向に-1平行移動
　2. 1で得られた関数のうち、yが負となる部分をx軸に対して折り返す(この関数がf_1(x)である)
　3. 2で得られた関数をy軸方向に-1平行移動
　4. 3で得られた関数のうち、yが負となる部分をx軸に対して折り返す(この関数がf_2(x)である)
...

という操作を繰り返して得られた関数であると分かります。また、y=f_n(x)はy軸に対して対称でありますから、もしx=-a(<=0)という解があれば、x=a(>=0)という解も存在するはずです。従って、f_n(x)=0の最大の解は常に0以上であることになりますから、x>=0の領域についてのみこの方程式を考えることにしましょう。これを踏まえて問題を見ます。

b_nはf_n(x)=0の解のうち最大のものですから、f_0(x)がx>=0で単調に増加する関数であることを考えれば、先に述べた「操作」によって初めてf_n(x)とy=0が(x>=0で)交わった点のx座標がb_nとなることが分かります。換言すれば、先に述べた「操作」で、2, 4, ...の「折り返す」操作をせず、f_0(x)をそのままn回平行移動させた関数f_0(x)-nがy=0と(x>=0で)交わる点のx座標がb_nとなります。よって、

　f_0(b_1)-1=0
　1/2*(e^(b_1)+e^(-b_1))-2=0　(f_0(b_1)を代入)
　{e^(b_1)}^2-4e^(b_1)+1=0　(両辺2e^(b_1)をかけた)

となります。これはe^(b_1)についての2次方程式です。よって、解の公式を用いれば、

　e^(b_1)=2+√3　∴b_1=log(2+√3)

同様に、

　b_2=log(3+2√2)

となります(計算して確かめてみてください)。

続いて曲線の長さについてです。積分の領域[0, b_n]が分かったとしましょう(これは先程と同様の計算によって求められます)。求める曲線の長さLは、

　L=∫_0^(b_n) √(1+f_n'(x))dx

によって求めることができますが、f_n(x)はそのままでは絶対値記号がやたら入っていて積分するのが面倒です。そこで、f_n(x)が初めに述べたように平行移動と折り返しの操作によって得られる関数であるということを思い出しますと、

　1. 平行移動によって関数の形は変わらない→求めたい領域の曲線の長さは変わらない
　2. 折り返しの操作によって折り返した部分の関数は(-1)倍されるだけ→求めたい領域の曲線の長さは変わらない

ですから、結局、

　L=∫_0^(b_n) √(1+f_0'(x))dx

としてよいはずです。よって、

　L=∫_0^(b_n) √(1+(e^(2x)-2+e^(-2x))/4)dx=1/2 ∫_0^(b_n) √(e^(2x)+2+e^(-2x))dx=1/2 ∫_0^(b_n) √((e^x+e^(-x))^2)dx

考える領域[0, b_n]でe^x+e^(-x)>=0ですから、

　L=1/2 ∫_0^(b_n) e^x+e^(-x)dx=1/2 [e^x-e^(-x)]_0^(b_n)=1/2[e^(b_n)-1/e^(b_n)]

となります。ここでn=6としますと、先述の方法によりe^(b_6)=7+4√3と求まりますから、これを代入して、

　L=4√3

と求まります。

間違っていたらすいません。もしかしたら他にも解法があるかもしれませんが、自分が思いつくのはこの程度でした……

お礼

tetra_o様

ご回答頂きながら、お礼の返事が遅れてしまい、申し訳ございませんでした。
内容、しっかり理解させて頂きました。
本当にありがとうございました。