ヒント
取り敢えず、g(0,z) = z, g(n, z) = | g(n-1,z) - 1| (nは1以上の自然数）とすると、g(n,z)は、各正整数nに対しどのような感じになるんでしょうか？グラフをいくつかのnに対して書いてみてください。
で、結論を言うと、g(n,z)は、
* n≦zのとき z-n
* z≦2-nのとき (2-n)-z
* 1≦m≦n-1なる整数mに対して、
* n-2m≦z≦n-2m+1の時、z-(n-2m)
* n-2m+1≦z≦n-2m+2の時、(n-2m+2)-z
となって、g(n,z) = 0⇔ z=n, n-2, n-4, n-6, ..., 2-n+2, 2-n
となります。本当なら上を数学的帰納法で証明する必要がありますが、何分回答が「マークシートしかない」ので、グラフを書いてみて直観的にこれがわかればいいよね？という事なんでしょう。
もう一回言いますが、一度g(1,z)からg(4,z)位まで書いてみてください。
で、今の問題の時、z = f0(x) = (1/2)(exp(x) + exp(-x)) - 1とおけばよい。x=0に対してzは対称で、x≧0に対してはzは狭義単調増加します。
従って、
[37][38] z = (1/2)(exp(x) + exp(-x)) - 1とおいたとき、g(1,z) = 0 ⇔ z = 1であるから、これをとけばよい。解が二つ出てくるが、その内の大きい（正の）ほう
[39][40][41] z = (1/2)(exp(x) + exp(-x)) - 1とおいたとき、g(2,z) =0 ⇔ z = 2, 0であるが、今xが最も大きいものを出そうとしているので、z=2の方。z=2の対して、解がやはり二つ出てくるが、そのうちの大きい（正の）ほう。
[42][43]まずb_6の値に関しては、 g(6,z) = 0の解のうちxが最大のものを出そうとしているので、(1/2)(exp(x) + exp(-x)) - 1 = 6の2つの解の内、大きい（正）の方。
＊因みに、実はこの問題で必要なのは、b_6の値ではなくて、x=b_6の時の(1/2) (exp(x) - exp(-x))の値がわかれば十分な事が、後にわかります。いま、x=b_6の時(1/2) (exp(x) + exp(-x)) = 7で、 {(1/2) (exp(x) - exp(-x))}^2 = {(1/2) (exp(x) + exp(-x)) }^2 - 1である事を使えば、この値はわかります。
ところで、曲線の長さを出すときには、b_6の値が必要なのはそうだけど（ただし上で書いたことに注意）、曲線の方は f5(x)でなくてf0(x)を使えばいいですよね？ （というのも、f5(x)はf0(x)を適当に折り返しただけだから、曲線の長さはf5とf0はかわらないですよね？）
一度回答を作って、分からない所があれば補足でください。
お礼
tmpname様 ご回答頂きながら、お礼の返事が遅れてしまい、誠に申し訳ございませんでした。 分かり易く解説頂き、しっかり理解させて頂きました。 本当にありがとうございました。