媒介変数を求めたいです。

質問

現在、x^2+y^2+a*y^3=r^2という関数の描画を考えています。
左上の画像が a=0.5 r=0.5,左上の画像がa=0.5 r=1.1の時の画像です。

左上の画像中心部の卵のような形がほしいのですが。
rを大きくすることで、次第に卵のような形が出なくなります。(画像左下)
そこで右上の画像のように何らかの補完を行うことで卵のような形を維持したいと考えています。

そこで、媒介変数表示にすることでどのような条件を与えれば赤色の線のような補完を行うことができるのか追跡しようと考えました。

そこで、質問は以下の二点です。
1. 上式を媒介変数表示することは可能か？また、可能ならどのように導出すればよいか
2. その他の方法で補完を行うことは可能か
以上2点 よろしくお願いいたします。

回答No.3

jcpmutura

x^2+y^2+ay^3=r^2
r^2=4/(27a^2)
a>0
とすれば
媒介変数tに対して

x=(t-t^3)/a
y=(1-3t^2)/(3a)

と上式は媒介変数表示できる

y=(1-3t^2)/(3a)
3ay=1-3t^2
3t^2=1-3ay

x=(t-t^3)/a
ax=(t-t^3)
ax=t(1-t^2)
3ax=t(3-3t^2)
3ax=t(2+3ay)
9(a^2)x^2=t^2(2+3ay)^2
27(a^2)x^2=3t^2(2+3ay)^2
27(a^2)x^2=(1-3ay)(2+3ay)^2
27(a^2)x^2=(1-3ay){4+12ay+9(ay)^2}
27(a^2)x^2=4-27(ay)^2-27(ay)^3
x^2=4/(27a^2)-y^2-ay^3
x^2+y^2+ay^3=4/(27a^2)
x^2+y^2+ay^3=r^2

回答No.2

myuki1232

楕円曲線の x と y を入れ替えたような曲線を考えておられると思うのですが、
であれば、常に2つの曲線成分を持つように、判別式の条件を与えればできないでしょうか。
ちなみに、この質問はどのような目的でしょうか？

回答No.1

info222_

曲線は異なりますが, 孤立したループ曲線の媒介変数表現でもよければ
例えば
x=k cos(t), y=k(1-0.2sin(t))sin(t), (0≦t≦2π)
(kは定数)