多項式の除算の文字係数について

質問

『問』　整式 x^3+x^2+ax+2 が整式 x^2+2x+b で割り切れるように，定数 a , b の値を求めなさい．

実際に割ると、余りが(a-b+2)x+(2+b)になります。
ここまでは出来ます。
次に
a - b+2=0
2+b=0 　より　 a= - 4 , b= - 2
とあります。

これが理解できません。
割り切れるように(a-b+2)x+(2+b)を０と置くのは理解できます。
しかし、例えば
(a-b+2)x(以下Ｑ）を０
(2+b)（以下Ｐ）を０とそれぞれみなすケースしか考えれないのでしょうか？
ＱとＰがそれぞれ０ならば、Ｑ＋Ｐ＝０なのは理解できますが、
ＱとＰがプラスマイナスで表裏（例 Ｑ＝－５、Ｐ＝５）のケースは考えられないのでしょうか？

考えられるかもしれないが、計算しようがないから無視ということなのでしょうか？
とりあえず０のケースだけで考えましょうということなのでしょうか？
a,bは複数解答が可能性も残しているのでしょうか？

この先にある恒等式とかが理解したいのですが、詰まってます。
ご教授お願いいたします。

回答No.1

asuncion

xに関する1次式mx + bが恒等的に0になるのは、
0x + 0のときだけ、つまり、
m = n = 0のときだけです。

お礼

ご回答ありがとうございます。