多項式の除算の文字係数について

質問

『問』　整式 x^3+x^2+ax+2 が整式 x^2+2x+b で割り切れるように，定数 a , b の値を求めなさい．

実際に割ると、余りが(a-b+2)x+(2+b)になります。
ここまでは出来ます。
次に
a - b+2=0
2+b=0 　より　 a= - 4 , b= - 2
とあります。

これが理解できません。
割り切れるように(a-b+2)x+(2+b)を０と置くのは理解できます。
しかし、例えば
(a-b+2)x(以下Ｑ）を０
(2+b)（以下Ｐ）を０とそれぞれみなすケースしか考えれないのでしょうか？
ＱとＰがそれぞれ０ならば、Ｑ＋Ｐ＝０なのは理解できますが、
ＱとＰがプラスマイナスで表裏（例 Ｑ＝－５、Ｐ＝５）のケースは考えられないのでしょうか？

考えられるかもしれないが、計算しようがないから無視ということなのでしょうか？
とりあえず０のケースだけで考えましょうということなのでしょうか？
a,bは複数解答が可能性も残しているのでしょうか？

この先にある恒等式とかが理解したいのですが、詰まってます。
ご教授お願いいたします。

回答No.11

178-tall

>しかし、例えば
>(a-b+2)x(以下Ｑ）を０
>(2+b)（以下Ｐ）を０とそれぞれみなすケースしか考えれないのでしょうか？
>ＱとＰがそれぞれ０ならば、Ｑ＋Ｐ＝０なのは理解できますが、
>ＱとＰがプラスマイナスで表裏（例 Ｑ＝－５、Ｐ＝５）のケースは考えられないのでしょうか？

この表記だと、
　Qx+P = 0
にて、x=1 のときだけ成立つ {P, Q} が求まる。

本来の題意からは大外れ。

回答No.10

178-tall

>整式 x^3+x^2+ax+2 が整式 x^2+2x+b で割り切れるように，定数 a , b の値を求めなさい．
>
>実際に割ると、余りが(a-b+2)x+(2+b)になります。
>ここまでは出来ます。

「ここまで」の意味は？
　x^3+x^2+ax+2 = (x+A)(x^2+2x+b) + (a-b+2)x+(2+b)
が (x の値によらず) 成立する、ということ。

「余り」= (a-b+2)x + (2+b) が x の値によらず零になるには？ … というのが題意。

「x の値によらず」一定値になる条件が、
　(a-b+2) = 0
これが満たされれば、
　「余り」= (2+b)
これが零になるには？
　2+b=0

… というあらすじ。

回答No.9

noname#229261

グラフの概念を導入しておいて最後逃げた感じになっているので補足します。
ｙ＝ax+bのグラフがｘに関係なくy=0になるようにする。
というのは、
まずグラフの傾きはなし、つまりa=0で、
ｙ切片（y軸との交点）b=0
となり、グラフ自体がｘ軸にびたっと張り付いた感じになります。
これだと、ｘ関係なくｙ＝０になるわけです。

回答No.8

noname#229261

y=ax^4+bX^3+cx^2+dx+e
で値が決まるというか、要するにｙの値を出すのはｘに決まった数字を「代入」した時のみです。　その時には質問者さんのいってる多次元間の足し算みたいなことが手順では生じますが。
因みに３次関数以上のグラフはかけますか？　ｘを決める（代入する）とｙの値が１個決まります。　グラフ上では（ｘ＝任意の数）の垂直の直線と　グラフの交点のｙ座標が回答となります。
グラフのことを言ったのは、仮に　y=ax+b　としたときにy=0となるポイントはあります。
x=-b/a　でありますが。　確かにこのｘを代入すればｙ＝０になります。
y=ax+bの直線のグラフがｘ軸と交差する点です。　ｙ＝a(-b/a)+b=0です。

しかし、問題の題意では ax+b=0　でなければいけません。　これはｘに特定の数値を代入して０になるのではなく、「ｘにどんな実数を入力しても成立する状態に調整する」ということなのです。　するとこの場合はa=0 かつｂ=0になるわけです。

スミマセンお恥ずかしいのですが。　元理系ですがすごいほこりをかぶっているので。自分が回答しているのがすごい危なっかしいことも承知しております。　それでも再度とリクエストがあったので、参考になればと書きました。

回答No.7

tsubu-yuki

大事なところを言い忘れましたので再登場失礼。

> 『問』　整式 x^3+x^2+ax+2 が整式 x^2+2x+b で割り切れるように，定数 a , b の値を求めなさい．
とのことですので、この問題では　ａ，ｂは定数、ｘは変数であると読み取ります。
つまり「ｘがどんな値を取っても成立するａ，ｂの組み合わせは？」という問いです。
この前提を忘れると、問題に取り掛かれないですね。

> 実際に割ると、余りが(a-b+2)x+(2+b)になります。
> ここまでは出来ます。
良く出来ました。でも、
> (a-b+2)x(以下Ｑ）を０
前述通り、ｘは問題によって定義された変数、ａ，ｂは同様の定数ですから、
ａ，ｂとｘを同じ変数Ｑに置き換えるわけにいかないのです。
なので、定数部分（ａ－ｂ＋２）だけをＱに置き換え、
　Ｑｘ＋Ｐ＝０
ここに変数ｘがどんな値を取っても成り立つＱ，Ｐの組み合わせが欲しいので、
前の回答に続きます。

回答No.6

mshr1962

>が、b=axという式で、x＝０とは意識しません。
b=axというのはどこから出てきたのでしょうか？
それに上の式で、x=1のときとx=2のときにa,bの値が変化するのは可笑しいです。
結果、b=0,a=0といことになり
(a-b+2)x+(2+b)=0　→　(a-b+2)x=-(2+b)
に当てはめると、-(2+b)=0,(a-b+2)=0となり、
あなたが理解できないといった連立数式に落ち着くことになります。

お礼

理解悪いのにお付き合い頂き、感謝します。

ax+b=0
を
b=-axと置き換えました。

長考しております。ますますこんがらがってますので、一度整理します。

回答No.5

nihonsumire

回答者の方々の回答が、納得できないなら下記のの方法で考えてみてはどうでしょうか。
割り切れるのだから、商をmx+nとおくと
x^3+x^2+ax+2=(mx+n)(x^2+2x+b)
右辺を展開し、左辺と係数比較すればよい。
注）mx+n→x+nとおくのが普通。なぜか考えて下さい。mx+nで展開していけば解るかと。

お礼

本格的にわかりません。
皆様の回答をもとに長考してみます。
ご回答ありがとうございました。

回答No.4

tsubu-yuki

> この先にある恒等式
いやいや、これは既に恒等式の入口と言っても良いところです。
恒等式とは
「含まれている文字にどんな値を代入しても、必ず成り立つ」
だったかな？何か言葉が足りないかも。
まぁつまり、
　ax2+bx+c=0　（１） は a = b = c = 0 の時 x についての恒等式と言える。
と言うことです。
　恒等式であるから、ｘ＝１，ｘ＝０，ｘ＝－１　全て式として成立する　なので
　　ｘ＝１　の時　ａ＋ｂ＋ｃ＝０
　　ｘ＝０　の時　　　　　ｃ＝０
　　ｘ＝－１の時　ａ－ｂ＋ｃ＝０
　よって　ａ＝ｂ＝ｃ＝０　の時、（１）式はｘについての恒等式である（証明終了）
ですね。

せっかくですので、
> (a-b+2)x(以下Ｑ）
> (2+b)（以下Ｐ）
としたいところですが、実はここから間違いが始まっています。
ｘについての恒等式を考えるのですから、
Ｑ＝（ａ－ｂ＋２）で置き、
　Ｑｘ＋Ｐ＝０　としてやり、ｘについての恒等式を導く必要があります。
さてここで、先程の考え方を引っ張り出してきます。
ｘにどんな値を代入しても成立するＱとＰの組み合わせを考えます。
・・・と、ここまで来たらもうお分かりでしょう。
　Ｑ＝Ｐ＝０　しかないはずです。
よって、ａ－ｂ＋２＝０　，　２＋ｂ＝０　より、
　ａ＝－４　，　ｂ＝－２
が導かれるのです。

・・念のため。
　Ｑｘ＋Ｐ＝０　とした場合、
　　ｘ＝１　の時　　　Ｑ＋Ｐ＝０
　　ｘ＝０　の時　　　　　Ｐ＝０　　　　　　　※Ｑ×０＝０　ですね。
　　ｘ＝－１の時　　－Ｑ＋Ｐ＝０
　全てを満たすＰ・Ｑの組み合わせは　Ｐ＝Ｑ＝０　のみ。

一助となれば幸い。

お礼

本格的にわかりません。
皆様の回答をもとに長考してみます。
ご回答ありがとうございました。

回答No.3

mshr1962

>０とそれぞれみなすケースしか考えれないのでしょうか？
考えられません。なぜならXという変数がある以上
2+bが0以外のとき、X=0なら余りが存在することになりますので。。。
b=-2が確定し、(a-b+2)=(a+4)xが必ず0となるには、a+4=0の成立が求められます。

お礼

ご回答ありがとうございます。

補足

>2+bが0以外のとき、X=0なら余りが存在することになりますので。。。

なるほど、確かにＸ＝０を意識すると、２＋bは０以外では存在してはいけないんですね。
納得いきます。

が、b=axという式で、x＝０とは意識しません。
ax+b=0
後者の式だと、式全体が０になるためには、「x＝０の場合bが残っていると」という考えは理解できるのですが、
前者の式では、xがなんであろうと問題ない気がするのですが。
こんがらがっててすいません。

回答No.2

noname#229261

QはＸに関して１次元
ＰはＸに関して０次元となります。
なので、係数どうしを大小比較することはできません。　よってそのケースは「考えられない」のです。　次元が違うということです。
これを生活面で具体例を挙げると。
０次元の例はちょっと見当たりませんけど。（スカラー量というのですが）
長さに関して１次元のはそのまま長さですよね。ｍ
面積は長さに関しては２次元ですm2
他の次元の量を足したり引いたりして相殺して０にすることはできません。

補足

もしやとおもってたのですが、これが線形独立ってことなんでしょうか？
おそらくそうなんでしょうね。
基底が違うってやつなのでしょう。

が、頭の中で、この文字係数問題や恒等式での「０とみなす」方法については理解ができません。
うまく結びつきません。

独立なんだから０ってのは理解できても、
「整式 x^3+x^2+ax+2 が整式 x^2+2x+b で割り切れるように，定数 a , b の値を求めなさい．」
頭の中でこれと独立であることがうまく結びつきません。
とにかく腑に落ちません。残念ながら・・・

この問題はそもそも基底は４つということでしょうか？
なぜ基底が違うと混ぜてはいけないのでしょうか？
実際に数値を代入したら、ぜんぶ混ぜますよね。
1次元の長さと2次元の面積の3次元の体積、4次元の何かの数値を足しますよね。全部。
x^2+x
あれで出てくる数値はいったい何なのでしょうか？
1次元と2、３、４次元をを足したもの。
文字状態だと混ぜれないが、実際の数値だと混ぜれる。

すいません。長考になりました。
独立とか基底とか結合の概念がいまいち理解できなかったのですが、ヒントになりそうです。
導入部分を再度聴講して、また追記します。
是非とも再度ご教授頂ければ幸いです。