球について

質問

２つの球(x＾2)＋(y＾2)＋(z＾2)-2x＋4y-4z＋a=0 (i)

(x＾2)＋(y＾2)＋（ｚ＾2)=1(1-x＋z) (ii)
がある

（ア）(i),(ii)が接する時a=?
(イ）　(i),(ii)の交線が半径√3の円となるときa=?

(i)は
(x-1)＾2 ＋(y＋2)＾2 　＋(z-2)＾2=9-a
中心Ａ(1,-2,2) 半径√(9-a)

(ii)は
(x＋1)＾2 ＋(y＾2 ＋(z-1)＾2=4
中心Ｂ(-1,0,1) 半径2

までしかわかりません、

それから
推薦の長さを求める公式は
h=|ax(1)＋by(1)＋c|/√((a＾2)＋(b＾2))

問題１
中心間の距離はＡＢ＝３
ですが
外接るときと内接するときの求め方がわかりません

外接すると3=√(9-a)＋2
内接するとき3=|√(9-a)ー２｜
とう式がどのようにでたのかわかりません

問題２
(i)(ii)から
どのように4x-4y＋2z-a-2=0がでたのですか？
この式は何ですか？

そして
|-4＋2-a-2|/√(16＋16＋4)
はどやってでたのですか？

回答No.5

eatern27

＞|-4＋2-a-2|/√(16＋16＋4)
の説明をしてませんでしたね。

直線ax+by+c=0と点(X,Y)の距離は
|aX+bY+c|/√(a^2+b^2)
で与えられることは,分かっていることにします。

これは、「(直線の式の(x、y)に(X,Y)を代入したものの絶対値)を(xの係数の2乗とyの係数の2乗)の平方根で割ったもの」が距離に等しい、という事を表します。

3次元でも同じことが言えて,
平面をax+by+cz+d=0、点を(X,Y,Z)とするとその距離は
平面の式に(X,Y,Z)を代入したものの絶対値
を,x,y,zの係数の2乗の和の平方根で割ったもの

つまり、|aX,+bY+cZ+d|/√(a^2+b^2+c^2)に等しいことがいえます。

この公式を使って,
平面4x-4y＋2z-a-2=0とＢ(-1,0,1)（＝(ii)の球の中心)の距離を求めようとすると、

|-4＋2-a-2|/√(16＋16＋4)

が出てきます。

回答No.4

eatern27

＞左辺＞０＞右辺より、・・・

これは、たとえ、どんなaをとってきたとしても,左辺＞０＞右辺、すなわち、左辺＞右辺となるから、
左辺＝右辺となるaは存在しない。

ってことです。ここでは、1＝-√(9-a)を満たすaを探しているのですが、これを満たすaが存在しない,という事が分かればいいです。

例えば,x^2=-1という方程式があるとしましょう。
ｘが実数のときｘ^2は正、-1は負ですから、
ｘ^2＝-1となる実数ｘは存在しませんよね。

回答No.3

eatern27

＞３＝｜√(9-a)-2｜
＞の解き方をおしえてください

解き方としてはおしいですね。
まず、√の中身は正でないといけないので、9-a≧0、9≧aを確認しておきます。

正の場合と負の場合に場合わけするのはいいですが、
＞｜√(9-a)-2｜>0
＞｜√(9-a)-2｜<0
ではなく
√(9-a)-2>0
√(9-a)-2<0
で場合分けします。(まぁ、saru01234さんの頭の中ではこのように場合分けしているようですが)。また、どちらかに"＝"を入れたほうがいいでしょう。(どっちでもいいですが)

√(9-a)-2>0
＞のとき
＞3=√(9-a)-2
までは正解です。
これを2乗すると,右辺は(9-a)-4√(9-a)+4となって、√を消すために2乗したのに結局は√が消えず,困ったことになります。
＞3=√(9-a)-2
の両辺に２を足すと
5=√(9-a)
これを2乗すれば,aが求まります。(最初に述べたa≦9が成り立つか確認しなければいけないが)

√(9-a)-2<0
＞のとき
＞3=-√(9-a)-2
3=-√(9-a)＋2ですね。両辺に-2を足すと
1＝-√(9-a)ですが、左辺＞０＞右辺より、このようなaは存在しません。

＞どうやって２乗の項を消すのですか？

＞(x＾2)＋(y＾2)＋(z＾2)-2x＋4y-4z＋a=0 (i)
(x＾2)＋(y＾2)＋（ｚ＾2)=2(1-x＋z) (ii)
という2つの球の式について
(i)－(ii)という計算をすれば,2乗の項が消えます。

補足

左辺＞０＞右辺より、このようなaは存在しません。

がよくわかりません。
公式ですか？

回答No.2

eatern27

＞円の中心間の距離＝円の半径の差(の絶対値)
＞の計算法をおしえてください

図がないので、説明しにくいですが、

大きい円を描いて,そこに小さい円を内接させてください。
大きい円の中心をＡ、小さい円の中心をＢ、接点をＣとします。

すると、図を見れば,
ＡＢ＝ＡＣ－ＢＣ
というのが分かるでしょう。

ここで、ＡＢというのは2円の中心間の距離
ＡＣは大きい円の半径
ＢＣは小さい円の半径
を表しています。なので、結局は

2円の中心間の距離＝大きい円の半径ー小さい円の半径

となります。しかしながら、いつでも、2つの円の半径の大小が分かるわけではないので、
大きい円の半径ー小さい円の半径
＝|一方の円の半径ー他方の円の半径｜
＝|2円の半径の差|
＝2円の半径の差の絶対値
というのを使うと、
円の中心間の距離＝円の半径の差(の絶対値)
となって、2円の半径の大小によって場合分けをしなくてすむので便利なんですよね。

球の場合も全く同じことが言えます。(上の"円"の部分を"球"に置き換えればいい)

なので、
＞中心Ａ(1,-2,2) 半径√(9-a)
＞中心Ｂ(-1,0,1) 半径2
という条件から、
中心間の距離＝半径の差の絶対値
という式を作ると
３＝｜√(9-a)-2｜
が得られます。

＞4x-4y＋2z-a-2=0がどうしてでるのかわかりません
これは、
＞(x＾2)＋(y＾2)＋（ｚ＾2)=1(1-x＋z) (ii)
が正しいのなら,このような式は出てきません。#1の最後に書いたように右辺は２(…)ではないか確認してください。

2(…)の間違いであるとして、説明します。
もし、#1の2)で書いたことが分かるのなら,これと同じ様に、(i)の球の式と(ii)の球の式から2乗の項を消すことで、平面の式(4x-4y＋2z-a-2=0)を得ます。
この平面の式は,(2つの球が交わるなら)2つの球の交線(?)を通る平面を表しているんです。

補足

ごめんなさい
説明がへたで
３＝｜√(9-a)-2｜
の解き方をおしえてください
｜√(9-a)-2｜>0
のとき
3=√(9-a)-2
両辺を２乗して
9=9-a-4
a=-4
｜√(9-a)-2｜<0
のとき
3=-√(9-a)-2

とうとき方があってるのか心配で

4x-4y＋2z-a-2=0)は(ii）に関係しているそうですが、
どうやって２乗の項を消すのですか？

回答No.1

eatern27

こういうのは、できるだけ補足で聞きましょう。(補足したのに、全く返事がないのなら、しょうがないですが)

まずは、球のような3次元ではなく、2次元(円)で考えましょう。この問題を解くのに必要な知識を円の場合に置き換えた物をかくので、分からないものがあれば、補足をしてください。(少なくとも、私が、この問題を解説するのは、補足があってからにします。この下に書いてある事が分かっていた方が、理解しやすいと思うので)

１)
2つの円が外接する条件は
円の中心間の距離＝円の半径の和
内接する条件は
円の中心間の距離＝円の半径の差(の絶対値)

２)
(x-a)^2+(y-b)^2=c^2
(x-s)^2+(y-t)^2=r^2
という2つの円を考えて,(上の式)－(下の式)とすると、x^2,y^2の項が上手く消えて,
αx＋βy+γ＝0
の形の直線になります。これはただの直線ではなく、もし、上の２つの円が交点を持つなら,その２つの交点を通る直線を表しています。

３)
点(X,Y)と直線ax+by+c=0の距離が|aX+bY+c|/√(a^2+b^2)与えられます。

ところで、
＞(x＾2)＋(y＾2)＋（ｚ＾2)=1(1-x＋z) (ii)
の右辺は２(1-x＋z)ではないですか？

お礼

4x-4y＋2z-a-2=0がどうしてでるのかわかりません

補足

円の中心間の距離＝円の半径の差(の絶対値)

の計算法をおしえてください

3=|√(9-a)-2|をどのように計算するかわかりません