2sinθの置換積分

質問

領域 k^2x^2+1/(k^2)y^2=4 (k>0)・・・(1) と領域 xy≧1・・・(2)　 の共通部分の面積Sがkの値に無関係な一定の値になることを示し、その値を求めよ　という問題の途中がわかりません。
(1)、(2)からyを消去し、k^4x^4-4x^2+1=0 よって、第1象限にある交点のx座標は、
x=(√6±√2)/2ｋ　また第1象限において　(1)からy=k√(4-k^2x^2), (2)からy=1/x
α=(√6-√2)/2ｋ ,β=(√6+√2)/2ｋとすると、図形全体は原点に関して対称であるから、
S=2∫(α→β){k√(4-k^2x^2)-1/x}dx・・・(3)
(3)の右辺第1項でkx=2sinθ とおくと、kdx=2cosθdθ　0<θ<Π/2の範囲で、x=α,βにそれぞれθ1,θ2が対応するとすれば・・・・と解説に書かれていますが、
どうして、0<θ<Π/2の範囲になるのでしょうか　高校生程度の知識でもわかるように説明お願いします。

回答No.2

info222_ · ベストアンサー

>どうして、0<θ<Π/2の範囲になるのでしょうか　高校生程度の知識でもわかるように説明お願いします。

>kx=2sinθ とおくと
x→θのように置換積分するときは
必ず積分変数が1:1に対応するように変数範囲を決めてやらなければいけません。
積分範囲[α,β]
,0<α=(√6-√2)/(2k)≦x≦β=(√6+√2)/(2k) ...(A)
に対して
kx=2sinθ ...(B)
の変数変換でθを1:1に対応させるには
-π/2≦θ≦π/2 ...(C)
と範囲を定義しておかないといけません。
今の場合、k>0かつxの範囲(A)では
kx>0なので
　0<kα/2=(√6-√2)/4≦sinθ=kx/2≦kβ/2=(√6+√2)/4<1 ...(D)
(C)と(D)から
　0<θ<π/2
と定義しておかないと、(B)の変数変換が
1:1対応の変数変換ができないのです。

（参考）
高校で習わないかもしれませんが
より厳密にはθの範囲は
arcsin((√6-√2)/4)≦θ≦arcsin((√6+√2)/4)
となります。この範囲が変数変換後のθの積分範囲
[arcsin((√6-√2)/4), arcsin((√6+√2)/4)]
となります。
高校でarcsin(x)=sin^-1(x) (アークサインx, 逆正弦関数)を習っていなければ解説にあるように
α≦sinθ≦β
で考えればいいでしょう。

（ポイント）
1:1の対応でない変数変換では置換積分法が適用出来ません。

お礼

詳細な説明ありがとうございます。

回答No.1

f272

第一象限で考えているのではなかったのですか？

お礼

お返事ありがとうございます。