【数学】余弦定理の応用問題について

質問

今日の授業で出題されたもので、

△ABCにおいて、a=2、c=√3-1、B=120°のとき、残りの辺の長さと角の大きさを求めよ。

という問題ですが、何度やっても答えが合いません。
公式に当てまはてやってるんですが・・・（ちなみに答えは√6です

使う公式は、
ｂの２乗＝ｃの２乗＋ａの２乗-2bc×cos B
です。

まず３角系の辺ｂを求めるわけです。
しかしここで躓いてしまってるんですよね。

途中式を使って説明していただけるとありがたいです。
数学に詳しい方回答よろしくお願いします。

回答No.5

trytobe · ベストアンサー

c=√3-1 なのですから、ｃの２乗は、

c^2 = （√3-1）（√3-1）
＝（√３）^2 ＋ (-1)√３ ＋ (-1)√３ ＋ (-1)^2
＝ ３ ＋ （－√３） ＋ （－√３） ＋ １
＝ ４ ＋ （－２√３）
＝ ４ － ２√３

なだけです。

お礼

回答ありがとうございます。
展開の仕方が間違ってたみたいです。

回答No.4

trytobe

おそらく、ご質問は、正しい余弦定理の式（２辺の長さとその間の角度の３つの情報で、残りの辺の長さが求まる）なら、

b^2 ＝ c^2 ＋ a^2 －２ａｃ・cosB
＝ ４－２√３ ＋ ４ －４（√３－１）・（－１／２）
＝ ８－２√３ ＋２（√３－１）
＝８－２√３＋２√３ －２
＝６

で、ｂは正だから ｂ＝√６

補足

あなたの一番最初の計算式、
＝４－２√３ ＋ ４ －４（√３－１）・（－１／２）
にある「－２√３」はどこから出てきたのでしょうか？

私の場合この計算式は、
４＋ ４ －４（√３－１）・（－１／２）
になってしまうのですが。

回答No.3

noname#232123

余弦定理より、
b^2=(√3-1)^2+2^2-2*2*(√3-1)*(-1/2)=6.
単純計算です。
さらに、正弦定理より、
2R=√6/sin(2pi/3)=2√2. よって、R=√2.
2/sinA=2√2 より、sinA=1/√2. A=pi/4. (3pi/4 は不適).
C=pi-(2pi/3+pi/4)=pi/12.

回答No.2

noname#222520

中学校で学習する三角形の合同条件は、三角形の決定条件でもあります。
その中の1つが、「2辺とその間の角」が与えられることです。
余弦定理は、この条件から他の1辺を求めるものであり、公式が誤っています。
正しくは、次の通りです。
b^2=a^2+c^2-2ac*cosB

回答No.1

f272

余弦定理
b^2=c^2+a^2-2ac*cosB