空間中における平面に垂直なベクトル（法線ベクトル）の求め方について

質問

空間中における三角形ＰＥＮにがあって、Ｐ（０，０，１），Ｅ（ｘ，０，０），Ｎ（０，５，０）となっている。この三角形ＰＥＮに垂直なベクトルのうちの一つの求め方をおしえてください。答えは（５，ｘ，５ｘ）ということです。できれば高等数学の範囲内でおねがいします（外積等を利用せずに・・・
）。

回答No.3

debut · ベストアンサー

＞なぜ「ｃ≠０」なのですか？

最後にｃ/ｘ、ｃ/５、ｃをｃで割りたいのだけど、０で割ることはできま
せんので、ｃが０になるかどうか確認します。
関係式　ａ＝ｃ/ｘ，ｂ＝ｃ/５にｃ＝０を代入するとａ＝ｂ＝ｃ＝０と
なり、垂直なベクトルが（０，０，０）となってしまうので、ｃ≠０
が言え、ｃで割ることが可能になります。
文字で割るときには、０でないことの確認は大切です。

お礼

背理法のようなやり方で確認するんですね！大変よく分かりました！幾度となく解答していただきありがとうございました！

回答No.2

debut

＞ＰＥベクトルと、ＰＮベクトルの成分から求める事
ごめんなさい。その方が簡単でした。

ＰＥベクトルは（ｘ、０、－１）
ＰＮベクトルは（０，５、－１）
両方に垂直なベクトルの１つを（ａ、ｂ、ｃ）とすると、
垂直条件（内積＝０）より、
　　　　　ａｘ－ｃ＝０　　５ｂ－ｃ＝０
よって、　ａ＝ｃ/ｘ　　ｂ＝ｃ/５
すると、垂直な１つのベクトルは（ｃ/ｘ、ｃ/５、ｃ）なので
ｃ≠０だから５ｘ/ｃ倍すれば・・

補足

丁寧なご解答感謝しております。しかし、どーしてもどーしても最後に分からない部分が一箇所あります。それは貴殿のご解答における「ｃ≠０だから」という部分です。なぜ「ｃ≠０」なのですか？お手数でしょうがお時間が許すならご教示お願いできないでしょうか？是非ともよろしく御願い致します。

回答No.1

debut

３点を通る平面の方程式を求めれば法線ベクトルも求められると思います。

３点Ｐ，Ｅ，Ｎを通る、ベクトル(ａ，ｂ，ｃ)に垂直な平面の方程式を
ａＸ＋ｂＹ＋ｃＺ＋ｄ＝０とすると、
３点の座標を代入して、
　ｃ＋ｄ＝０　、ａｘ＋ｄ＝０、５ｂ＋ｄ＝０　より
　ｃ＝－ｄ、ａ＝－ｄ/ｘ、ｂ＝－ｄ/５
よって、平面の式は
　(－ｄ/ｘ)Ｘ－(ｄ/５)Ｙ－ｄＺ＋ｄ＝０
－５ｘ/ｄ　をかけて
　５Ｘ＋ｘＹ＋５ｘＺ－５ｘ＝０→ベクトル（５、ｘ、５ｘ）に垂直。

補足

早速の回答ありがとうございます。この回答でもとりあえずは納得できるのですが、できればＰＥベクトルと、ＰＮベクトルの成分から求める事は出来ないのでしょうか？そもそも無理なのですか？ぜひご解答お願いします。