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単位垂直ベクトル（右に９０度）
ある単位ベクトル a = <x,y>, |a|= √(x^2+y^2)=1について、 このベクトルの方向から見て右側に９０度（垂直）で 大きさがaと等しいベクトルbは、 b = <y, -x>となる。 うえの表現について、この場合a・b＝０かつ|b| = 1 となるから、 bは上の題意を満たすということが感覚的にわかるのですが、 途中の式が思いつきませんでした。。。 bを計算できちんと出すとしたら、 どのような式でaからbを導き出せばよいのでしょうか？ よろしくお願いします。
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- debut
- ベストアンサー率56% (913/1604)
ｂ＝＜ｍ、ｎ＞として、ｘ軸(正の部分)とｂベクトル のなす角がθなら、ｍ＝cosθ、ｎ＝sinθです。 また、ａベクトルとｘ軸(正の部分)となす角はθ＋90° なので、ｘ＝cos(θ＋90°）、ｙ＝sin(θ＋90°）。 これらは加法定理で、ｘ＝－sinθ、ｙ＝cosθ となるので、ｍ＝ｙ、ｎ＝－ｘとなります。
お礼
解答ありがとうございます。 なるほど！ 最初にｍ＝cosθ、ｎ＝sinθとおけば、 ±９０度でもうひとつの垂直ベクトルをあらわせるんですね。 これだと右に９０度ということを簡単に表せるので、とても参考になりました！ ありがとうございます。
- zk43
- ベストアンサー率53% (253/470)
b=(u,v)とすると、a・b=xu+yv=0より、u=ky,v=-kxとなります。（比例 関係を考えて） u^2+v^2=k^2(x^2+y^2)=k^2=1からk=±1です。 なので、b=(y,-x)またはb=(-y,x)となります。 どちらをとるかですが、a=(1,0)のときb=(0,-1)であることを考えると b=(y,-x)です。 または、aが単位ベクトルということはa=(cosθ,sinθ)と表せます。 これを右方向に90°回転させると、 b=(cos(θ-90°),sin(θ-90°))=(sinθ,-cosθ) となるので、元のa=(x,y)からみればb=(y,-x)です。 あるいは-90°の回転行列をa=(x,y)に作用させても良いです。 こちらの方が図形的に考えられるのでわかりやすいと思います。
お礼
解答ありがとうございます。 ＞＞aが単位ベクトルということはa=(cosθ,sinθ)と表せます。 これを右方向に90°回転させると、 b=(cos(θ-90°),sin(θ-90°))=(sinθ,-cosθ) なるほど！このやりかたでやると、 計算式を向きを右に９０度と指定して すぐに答えをを出すことができました。 参考になりました！ ありがとうございます
- hugen
- ベストアンサー率23% (56/237)
b＝(X,Y) とおく。 右側に９０度の回転によって、ｙ軸はｘ軸に重なるから y＝X x軸は、y軸に重なり、向きは逆だから -x＝Y
お礼
解答ありがとうございます。 ＞＞b＝(X,Y) とおく。 右側に９０度の回転によって、ｙ軸はｘ軸に重なるから y＝X こういう風に計算式を表せるとは思いつきませんでした！ これならとてもシンプルに答えにたどり着けました。 ありがとうございます。
- futoshi123
- ベストアンサー率13% (15/114)
そこまで出来ているのならもうちょっとだと思いますよー。b=<\alpha, \beta>と置いて、aとbの関係から\alpha、\betaの条件を出してみましょう。
お礼
解答ありがとうございます。 上の条件を使って計算したら、 答えはb = <y, -x> と <-y, x>とでて どちらが右に９０度のベクトルを表すかは図形的に判断して 答えにたどり着くことができました。 ヒントありがとうございます！
お礼
解答ありがとうございます。 ２＃のやり方でといて、 二つ出た答えのどちらにするかを 図形を考えて決めて出しましたが、 ３＃４＃のような、向きを直接指定できる やり方もあるんですね、、 とても参考になりました。 ありがとうございます。