線形変換

質問

正規直交座標系における問題です。

┌　　　　　　┐
│ cosX　-sinX│
│-sinX　-cosX│
└　　　　　　┘

という線形変換についてなのですが、

点A (1, 0) がこれによって移動される点Bは、点Aを原点を中心に半時計方向に角度「　」だけ回転し、座標軸上で「( , )」だけ移動した点である。

の「」の中が埋められません。上の線形変換はこの前にある誘導問題で自分で導いたもので、もしかしたらこれが間違ってしまっているのかもしれません。（一応何度も計算しなおしました）
なにぶん答えがないのと、「座標軸上で(, )だけ移動する」という表現が？？？です。座標上ならまだわかるのですが・・。

アドバイスをお願いします。

回答No.3

Landolt · ベストアンサー

まず「線形変換」と「一次変換」ですが、これはどちらも全く同じものです。

次にこの線形変換に関していえば、拡大・縮小は起こりません。
ただ、一般的には線形変換において拡大・縮小は起こり得ます。

以上を踏まえてこの問題を考えますが、まず

　| cos(x)　-sin(x) |
　|　　　　　　　　　　|
　| -sin(x)　-cos(x) |

　| 1　 0 || cos(x)　-sin(x) |
= |　　　　||　　　　　　　　　|
　| 0　-1 || sin(x)　 cos(x) |

であることに注目します。（仮にS[x]T[x]とします）

T[x]は有名な回転写像で、この行列を左からかけると、
元の点は「原点を中心として角度(x)だけ回転移動」します。
※一般的に回転移動で特に方向を指定しない場合、正の方向（反時計回り）です。
S[x]は鏡写しになっていて、この場合「ｘ軸を対称の軸として対称移動」します。
よって問題の行列を左からかけると、回転移動したあとに対称移動することになります。

そこでなのですが、ここまでわかれば最終的なＢの座標がわかるはずです。
仮に回転移動だけをしたあとの点をＣとおくと、結果的に対称移動によってＣからＢまでどれだけ移動したかが求められます。
もしかしたらこの問題はそのことをいっているのかもしれません。

回答No.2

graphaffine

問題がおかしいと思われます。
問題が正確かどうか見直してください。
あるいは、誘導問題を記述してください。

この問題からすると、線形変換でなく一次変換という言い方の方が正しい気もしますが、「線形変換」というのは間違いないですか。

ちなみに、＃１の回答も一次変換について言っています。ただ、拡大縮小は関係ないですが。（少なくとも現在の問題の表現では）

お礼

ありがとうございます。
やっぱり計算が間違っているのでしょうか・・。

┌　　　　　　┐
│ cosX　-sinX│
│ sinX　 cosX│
└　　　　　　┘
を T[X] とし
┌　　　┐
│ 1　0 │
│ 0 -1 │
└　　　┘
をS[X]とすれば

y = T[-X]S[X]T[X]x

なる変換です。「線形変換」という言葉は自分でかってに補っていました。
これを計算すると、yへの写像行列は
┌　　　　　　　┐
│ cos2X　-sin2X│
│-sin2X　-cos2X│
└　　　　　　　┘
となったので、線形変換なのかなって思っていました。

回答No.1

sunasearch

２×２の合成変換では、回転と平行移動をまとめて表すことができませんので、

「座標軸上で(, )だけ移動する」というのは、それぞれ、ｘ軸方向とｙ軸方向の拡大縮小を表すものと思います。

http://www.asahi-net.or.jp/~SI4K-NKMR/jdai4.htm

お礼

> ｘ軸方向とｙ軸方向の拡大縮小を表す

この表現がちょっとわかりませんでした。。
ありがとうございます。