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切頂二十面体の展開図について
切頂点二十面体（サッカーボール）を厚紙で作るとき正6角形だけをつないで正5角形のほうは空白にできますが、正6角形のほうはひとふでがきのように（Sを引き伸ばした積分記号の一部のように）つながったものから適当に立体化して完成させることが可能ですが、ひとふでがきのような展開図が作れることは数学的には当然なことなのでしょうか。他の同様の多面体でも一般的に成り立つことなのかどうか教えていただければ幸いです。
- kaitaradou
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- 数学・算数
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専門家ではないので、自身がありませんが 多面体Ａの各面上の代表点と辺で隣り合った面上の代表点を全部結んだ立体図をその双対多面体といい、これをＢとします。 例えば、立方体に対しては正八面体がその双対多面体であり、その逆もいえます。 その多面体Ａで展開図が得られるのであれば、辺を二度通ることなくＢの全ての頂点を通るような路があることになります。このような全ての頂点を一筆で結ぶような経路をハミルトン路といいますが、どんな多面体でもハミルトン路があるわけではありません。 例えば、菱形十二面体にはハミルトン路が存在しないので、その双対多面体の立方八面体は一筆がきの展開図は作れないと思います。
お礼
ご教示ありがとうございます。偶数奇数などとも関係があるかななどと考えていたのですが、改めて勉強させていただきたいと思います。