√を含む単項式を計算する理由

質問

高校３年生です。
√を含む単項式を「計算せよ」って言われるとき、√内ができるだけ小さな数字になるよう変形するのですが、なぜ√内をできるだけ小さな数字にするのですか？それって単なる規則ですか？
この質問の理由が説明しづらいのですが、それを理解すれば僕はもっと効率よく数式を変形できるかもしれないと思ったので、質問してみました。
それと、そもそもの、数式を展開する、因数分解する理由も知りたいです。こっちは解答されなくてもいいですが、解答していただけるとありがたいです。
ご解答よろしくお願いします。

回答No.5

sanori · ベストアンサー

こんにちは。

＞＞＞なぜ√内をできるだけ小さな数字にするのですか？

できるだけ小さな数字　ではなくて、できるだけ単純な数字　です。
＜例＞
√（３／１００）　＝　１／１０・√３
（ルートの中が大きくなってますよね。）

＞＞＞それって単なる規則ですか？

はい。単なる規則です。
エチケットのようなものとも言えます。

小学校では、帯分数と仮分数の両方を習いますが、
帯分数は大きさがわかりやすいという利点があり、仮分数は乗算、除算がしやすいという利点があります。
ですから、どちらも習うわけです。
しかし、√（３／１００）　と　１／１０・√３　とを比較したとき、
前者には、ほとんどメリットがありません。

ごくたまにメリットがある場合はあります。
それは、
√（１／３３）、　１／１０・√３、　√（３／１０１）
この３つの大小を示せ。
というような問題です。
これは、
√（１／３３）　を　√（３／９９）　に、
１／１０・√３　を　√（３／１００）　に、
それぞれ変形すると、
分母が小さいほうが大きいので、
√（３／９９）　＞　√（３／１００）　＞　√（３／１０１）
というふうに、簡単に解けます。

しかしながら、√の中身を簡単にしないほうが良いというケースは、ほとんどないです。

＞＞＞
それと、そもそもの、数式を展開する、因数分解する理由も知りたいです。

両者は、逆の関係ですね。

私は、学生時代は理系、仕事も理系なので、その経験を踏まえてお答えしますが、

因数分解は、ご存じの通り、右辺がゼロの方程式の解を求めるときに便利です。
しかしながら、これまでの人生で、実用的な面で、それが役立ったという記憶がありません。
因数分解ではなく解の公式で解きますから。

私的に言えば、
実は、展開と因数分解のどちらも、目的は一緒で、式を整理する目的で行います。
展開したほうが単純な式になるのであれば展開、因数分解したほうが単純な式になるのであれば因数分解します。
（因数分解は、式の一部だけを因数分解することも含みます。）

高校３年ということは、微積分も習うのでしょうか？

ｙ　＝　ｆ（ｘ）　＝　３（２ｘ^2＋ｘ＋１）

これを、ｙ＝３ｔ　と　ｔ＝２ｘ^2＋ｘ＋１　の合成関数として微分すると
ｆ’（ｘ）　＝　ｄｙ／ｄｘ　＝　ｄｙ／ｄｔ・ｄｔ／ｄｘ
　＝　３（４ｘ＋１）
　＝　１２ｘ＋３

先に、ｆ（ｘ）　＝　６ｘ^2＋３ｘ＋３　と展開してから微分しても、
ｆ’（ｘ）　＝　１２ｘ＋３

こう書くと、前者のほうが簡単に感じると思いますが、慣れてくると、後者の、展開してから微分するやり方のほうが簡単に感じるようになります。
どちらが易しいかは、当然、関数の形によります。
展開するほうが簡単な場合もあります。

ちなみに、
上記で出てきた
３（４ｘ＋１）
と
１２ｘ＋３
は、どちらが良いと一概には言えません。
しかし、高校数学では後者のほうがよいかも。

長々書きましたが、
展開と因数分解のどっちが便利かはケースバイケースなので、学校では両方習う、と考えて結構かと思いますよ。

お礼

返信ものすごく遅れてごめんなさい汗
すごく詳しい解説ありがとうございます。
展開と因数分解の便利さを垣間見ることができました。
計算過程においては、場合に応じた、計算を簡単に済ましてくれるようなスキルを活用することで、より簡単に式変形することができる。
計算結果においてはこう答えるっていう規則があるので、それに沿うように式変形しなければならない。
僕はそのような見解にたどり着きました。
微積分は習いましたから、参考にしてみます。
お返事ありがとうございましたm(_ _)m

回答No.8

tojyo

√8+√2をどうやって計算するでしょうか？
√8と√2の平方根表から値を探し、それを足し算しなければなりません。
では√9973+√39892は？
√39892の載っている平方根表はすぐには見つかりませんね。
でも√39892=√4×√9973=2√9973
を知っていれば√9973+√39892=3√9973であるので、√9973がわかればいいだけですね。
電卓・パソコンが当たり前の現在では関係ありませんが、手計算の時代にはいかに効率よく計算するかが非常に重要かつ重大な問題だったんです。

式の展開・因数分解も同じで手計算する上での計算上の工夫です。

お礼

返信遅すぎました、本当にごめんなさいm(_ _)m
歴史的背景については考えませんでした。昔においては今よりももっと√内を単純にしたりして効率よく計算することが大切だったんでしょうね。
しかし今となっては√の数字を電卓に打ち込めばすぐ概数が出てきてしまうから、この単純化の作業は廃れていってしまうのかもしれない、このことを高校生が勉強しなくていいことになるのかもしれないと、一瞬思いました。なきにしもあらずだと思います。
返答ありがとうございました。

回答No.7

pac-pac

＞√内ができるだけ小さな数字になるよう

勝手な解釈ですが「ごまかしている量を減らそうとしているのではないか。」と思うようにしています。

無理数はどこまで書いたからといって「真の値」にはならないと思います。
例えば π＝3.141592・・・・・・・・
√２＝1.414213556・・・・・
結果の数値を書こうとすると無限の時間が必要になりますから、「適当な
ところで書くのをやめるしかない」んだとおもいます。
「書くのを辞めた」と言うことは辞めた後の桁は「０」とみなされると思
います。
でも、√２と書けば先ほどの「無限地獄」から解き放たれて「たった2文字」で済みます（そして、それは真の値）。

さらに「１～１０（２０）の素数の平方根は暗記しろ」とか授業で言われ
るのではないでしょうか（わたしはそうでした）。

そうすると√５０は？ときかれてもすぐには答えが出てきませんが、
√５０＝５√２と思えるようになると、
「√２の５倍か！」→「１．４の５倍で７くらいか」となんとなく推測
できると思います（√４９＝７なので７．ｘという見方もできます）。

なぜ√５０はイメージしにくくて、√２はイメージしやすいかというと
「覚えているから」だと思います（√５０の値は覚えていないけれど
√２の値は覚えていますよね？たぶん）。
自身の中に知識や情報として存在しないものはわかりにくいものです。
（自身の結果を他人に評価してもらう場合は評価者のレベルに合わせ
なくてはなりません。自身がどんなに天才だったとしても）
それを、できることなら自身の知識あるいは一般的な知識の範囲のもの
に置き換えることができればいいのではないかと思います。

ダラダラと書いてしまいましたが、「みんなが知っているだろう表現」
にしてあげることが、お互いに誤解もないし正しい理解で納得できると
いうことだと思います（もちろん、お互いが熟知した内容なのでしたら
どんどんハイレベルな単語等を利用した方が話はスムースに進みますか
らそちらの方がお勧めです）。

お礼

返信遅れまして、本当にごめんなさい。
「√○」という表現がある理由のひとつを知れました。そのように表記すれば、具体性はありませんが、二乗すると○になる数を完全に表すことができますよね。
それで√の計算の法則を使って、大きい数字を中身にもつ√を、概数を覚えられている√○にうまく変換すれば、大きい数字を中身にもつ√の概数を具体的に考えることができる。その事実は√内を単純にすることの理由のひとつになりうると思います。
数学という学問だけに限られない、日常的に役立つことのできそうな内容の返答で、実際に役立ちそうです。
どうもありがとうございましたm(_ _)m

回答No.6

opechorse

高校生レベルだと手計算でルートの数を出さなければならないときに
考えられるかどうかということです
通常、√2=1.41、√3=1.73、√5=2.23ぐらいは暗記していると思いますが
√6を計算しなさいとなったときに
√6=√2×√3と計算できなければ
手計算では2.44と計算できないのです

大学以上だと、最終的に計算結果を簡単な形にまとめる際には必要ですがそこまで必要性は薄くなります

お礼

返信遅くて本当にごめんなさいm(_ _)m
手計算で√の数を出さなければいけないときに考えられるかどうか、
すごく大事だと思います。どうやら、√内をより単純にするのは、計算過程においては便利だから（手計算で√の数を出せるようにという理由も場合により含むでしょう）、計算結果においては規則だからのようです。他のことについても、答えの形の規則を考えてみることにます。
なかなか分かりにくい質問でしたが、ご返答ありがとうございました。

回答No.4

potter548

最初の質問は「有理化をするのはなぜ？」ということですか？
No.1の方の回答にもあるように、規則という解釈でも良いと思いますが、やはり有理化をしないと解けないこともあるからでしょう。
たとえば、(√12)/2は
(√12)/2 = (2√3)/2 = √3
となりますね。これは有理化をしたからこそ、分数を約分できたのです。（他のやり方もありますが、これが一般的でしょう）
これは簡単な例ですが、有理化をして方程式を解く次のステップに進めたりするのですから、やはり有理化は大切です。
直感的な理解としては、「ルートであらわされた数」より「ルートがない数」の方がスッキリしてますね。すっきりしてた方が扱いやすいでしょう？

2つめの数式を展開する、因数分解する理由ですが、これらは相反する作業です。
展開するとうれしいこともあれば、因数分解してうれしいこともあります。
展開したあるほうが微分や積分が楽になることもありますし、
因数分解すると分数が約分できたり、
（たとえば、 (x^2-3x+2)/(x-1) = (x-1)(x-2)/(x-1) = x-2）
方程式を解くのに必要な作業ともいえるでしょう。
なので、「理由」は、「そうすると便利だから」ということじゃないでしょうか。

お礼

こんばんは、返信遅れてごめんなさいm(_ _)m
むむ？有理化というのは、分子に√のついた値を含む分数式を、分母に√のついた値を含まない分数式に変形にすることであった気がしますが…調べてみますね。
有理化して（たとえば√12を2√3にして）次の段階へ進めないか確かめることが問題によっては必要になるようですね。また、スッキリしているという直感的感覚も大事にしてみます。

展開と因数分解をする理由については、「展開や因数分解を利用した方が便利である場合があるから」ということですよね。具体的で、すごく参考になりました。ふと思ったのですが、それはどんな手段にも言えるような気がします。だからどんな手段でも覚える価値があるのだと思います。
お返事ありがとうございましたm(_ _)m

回答No.3

proto

√12 = 2√3
のようにしなければいけないのは何故？と言うことですかね？

結論から言うと、数学の回答は出来るだけわかりやすく書くことが望ましいからです。

例えば
　　6 = 2*3
ですから6は3の2倍なのですが、これは簡単な計算なのですぐにわかりますよね。
次に
　　√12 = 2*√3
ですから√12は√3の2倍なのですが、「√12」だけ見てもこれが√3の2倍であることはわかりにくいですよね。
2をルートの外へ括り出すことで、より明瞭になっていると感じますか？

次に
　　√1875 = 25√3
ではどうでしょう。
√1875が√3の25倍であることがだいぶわかりやすくなってると思いますし、右辺の書き方のほうが数の大きさが何となく想像しやすいと思いませんか？
√3≒1.7ですから、25√3≒42.5であることがわかりやすいと思います。
これを
　　√1875 ≒ 42.5
と突然書かれてもピンと来ないですよね。

こんな感じでルートの中の数をなるべく小さくしておくと、大きさだったりとか因数だったりとかがわかりやすくなるのです。

高校、大学と進んでいくと、数学で使う数や記号もどんどん複雑になります。
複雑な数式を自分で理解できる能力も大切なのですが、それと同時に、自分の回答・計算が正しいことをわかりやすく人に伝える能力というのも大切になります。
今回の質問のような変形は、自分以外の誰かにわかりやすく伝える事の練習だと思ってください。

お礼

返事遅くなってごめんなさい。
はい、protoさんが解釈したとおりの質問です。
お返事すごく分かりやすい（笑）確かに、√1875より25√3の方が、
√3≒1.73て分かりますから、大きさが想像しやすいですよね。
√3が因数であることも明白です。

＞数学の回答は出来るだけわかりやすく書くことが望ましいからです

分かりやすく計算の、思考の過程を記述することは、相手の理解を助ける練習になりますし、実際に多様に助けてくれますね。分かりやすく記述することはすごく大事なことだと思います。
今回のように、分かりやすく式や値を記述すること（√1875を25√3とすること）も数学では大事だと思います。だから、試験で正解とされるところのどの答えも、誰かにとって、「一番分かりやすい形」で設けられているべきですよね。
もし実際に、普遍的に答えがそう設けられているならば、その知識は正解とされている解答を導出することに役立つはずです。
これについての質問は、今回の質問との関連性が薄いので、「数学の正解についての質問」とでもして質問させていただきたいと思います。ご存知でしたら、興味がありましたら、そちらの方へお返事ください。

お返事ありがとうございましたm(_ _)m

回答No.2

execrable

できるだけ小さくする、という意味は、これ以上分けることができない最小の単位にする、ということではないでしょうか？因数分解についても然り。
たとえば√24だったら、√3×√8＝√3×2√2　です。
これを、√8とかで残しておけば、「まだ計算できるだろ」ということになります。分数を約分するのと同じ理屈です。そのほうが単純になるから。18／24だったら、3／4までしたほうがいいのと同じ理屈です。

お礼

返事遅くてごめんなさいm(_ _)m
単純になるからというのは、単純な方が分かりやすいから、という意味で受け取りました。今回の場合、大きさが分かりやすくなるから、√内を小さくする。√8cm？んん？ですよね。でも2√2まで出しておけば、2√2≒2×1.41＝2.82cmで大きさがよく分かります。
…いや、それとも、単純にすることが規則なんでしょうか。
考えてみます。
お返事ありがとうございました。

回答No.1

arx7_arbal

規則、という解釈で良いかと。
　平方根は、「二乗するとその数値になるような値をも求めよ」という計算の記号です。
　例えば、

　A.y=1024+600

　と解答してしまうと、×がつけられてしまいますよね。
その理由は簡単で、1024+600　は、まだ「1024と600の和を求めよ」という計算の「途中」だからです。
　これと同じで、例えば√25　は、「二乗すると25になる値を求めよ」という計算の「途中」なので、可能な限り計算をして（＝平方根の中の数字を出来るだけ小さくして）あげる必要があるのです。

お礼

お返事ありがとうございますm(_ _)m返事遅くなってごめんなさい。
no2,3,4の方に答え、no5の方の回答に目を通した今お返事を書いているのですが、arx7_arbalさんのご意見の通り、やはり試験などでは計算結果において√の中身を単純にするのは規則である（特に理由はない）と考える方がよいみたいですね。
ただ√の中身を単純にすることに意味がないわけではないようで、そうすれば因数が明瞭になり、大体の大きさも分かります。だから、計算過程においては、そのメリットに応じて√の中身を単純にすることが望まれることがあったり、望まれないことがあったりするはずです。
この考え方を他の数学の事柄についても応用して、役立てていきたいと思います。お返事どうもでしたm(_ _)m