確率の計算問題に詳しい方に質問です。

質問

問.1～19番までの番号の書かれた紙を取り出すクジがあります。
1回のクジ引きでは番号の被らない4枚の紙がランダムに抽選され、
その中で1番数字の小さな紙を1枚だけ持ち帰ることが出来ます。
紙には書かれている番号毎に抽選率が設定されており、
1～18番までの紙は各それぞれが5.5%、19番の紙のみ1%の確率で抽選されます。
この条件で1000回のクジ引きを行う時、1～16番までの番号の書かれた紙を
"それぞれ"平均どれだけ持ち帰ることが出来るのでしょうか？

※持ち帰ることのできる紙の枚数は合計1000枚とします。

解答の分かる方がいらっしゃいましたらどうか宜しくお願い致します。

回答No.3

noname#227064 · ベストアンサー

例えば、
1,2,3,4
の組み合わせは
1,2,3,19
という組み合わせよりも5.5倍でやすいということですよね？

19が入る組み合わせの数は18C3通りで、それぞれ確率pで得られるとします。
19が入らない組み合わせの数は18C4通りで、それぞれ確率5.5pで得られることになります。
トータルが1にならないといけないので、
18C3×p+18C4×5.5p = 1
よって、
p = 1/(18C3+18C4×5.5) = 1/17646

最小のクジがxとすると、x=1,2,…,16以外になる確率は0。
x=1,2,…,16となる確率は、4枚のクジの中に19が入っているかどうかで分けて考える必要があります。
19が入っていない場合、その組み合わせの数はx+1から18までの中から3つ選ぶ組み合わせの数に等しいので(18-x)C3通り（ただし、x=16の場合は0通り）。
19が入っている場合は、その組み合わせの数はx+1から18までの中から2つ選ぶ組み合わせの数に等しいので(18-x)C2通り。
従って、
x = 1,2,…,15のとき、
(18-x)C3×5.5p+(18-x)C2×p = (18-x)(17-x)(182-11x)/211752
x = 16のとき、
p = 1/17646
その他は0となります。

クジ：確率
1：0.219653
2：0.181344
3：0.147767
4：0.11861
5：0.093562
6：0.072311
7：0.054545
8：0.039952
9：0.028222
10：0.019041
11：0.012099
12：0.007084
13：0.003684
14：0.001587
15：0.000482
16：0.000057
計：1

お礼

正に求めていた答えです！
最優先に選択される１番は丁度22%になるのではないのですね。

個人的にquaestio様の解答の方に納得がいきましたので
quaestio様をベストアンサーとさせて頂きます。

f272様、quaestio様、回答して頂き有難うございました！

回答No.2

f272

#1です。
同様に
1000回のクジ引きを行えば，1～15番までの番号の書かれた紙を平均して
(1-(1-0.825)^4)*1000=999.0621枚だけ持ち帰ることが出来ます。
と言えますから，
1000回のクジ引きを行えば，16番の番号の書かれた紙を平均して0.7305枚だけ持ち帰ることが出来ます。
以下，やり方は全く同じです。
1...202.5063
2...170.0712
3...141.2997
4...115.9721
5...93.8689
6...74.7704
7...58.4571
8...44.7092
9...33.3072
10...24.0315
11...16.6624
12...10.9804
13...6.7659
14...3.7991
15...1.8605
16...0.7305
17...0.1895
18...0.0178
19...0.0000

お礼

・・・？？計算に疎くて申し訳ないのですが、
1番の紙は最優先に選択されるので抽選率の5.5%×抽選候補数4で
入手率が22%にならないのは何故なのでしょう？

また番号の被りなしで４択の内1つしか選択出来ないので
17～19番は選択することが出来ず0%にならないのでしょうか？

もし宜しければこの２点の理由について教えて頂けませんでしょうか？

回答No.1

f272

17から19の番号の紙が抽選される確率は0.12です。
したがって17から19の番号の紙を持ち帰ることになる確率は0.12^4=0.000207です。
したがって1から16の番号の紙を持ち帰ることになる確率は1-0.12^4=0.999793です。
1000回のクジ引きを行えば，1～16番までの番号の書かれた紙を平均して999.793枚だけ持ち帰ることが出来ます。

お礼

申し訳ありません。こちらの説明不足でした。
問の"それぞれ"というのは、例えば1番が書かれた紙なら22%、2番の紙なら…
といったように番号毎の平均入手率を求めたいのです。

回答ありがとうございました。