今日のテストで

質問

0≦x≦3のとき、関数y=-4^（x）+2^（x+3）+14の最大値と最小値を求めよ。という問題が今日でたのですが、答えは何になりますか？教えてくださいおねがいします

回答No.2

bran111 · ベストアンサー

高校の数学で指数関数が出てきたらまず張ったりと思ってください。はったりを見破ればたいていはありきたりの二次関数です。

y=-4^（x）+2^（x+3）+14

この式の主は2^xです。これを見破ることが出発点です。

2^x＝t (1)

とおくと

4^x=(2^2)^x=2^2x=(2^x)^2=t^2

2^(x+3)=2^x×2^3=8t

y=-t^2+8t+14 (2)

やっぱり２次関数だったというわけです。

(1)のように変数の置換を行った場合は変域も置換することは大事です。

0≦x≦3ゆえに1≦t=2^x≦8 (3)

問題は変域(3)において(2)式によって定められた関数yの値域を求めよということです。

y=-t^2+8t+14=-(t-4)^2+30

yは上に凸の放物線でt=4で最大値30をとる。t=4は(3)に入っているのでOK

最小はt=4から最も離れた点で生じます。つまりt=8で最小値をとるということがわかりますか。tの変域の両端が候補で|1-4|=3, |8-4|=4、よってt=8で最小値をとるということです。

t=8でy=14が最小値です。

ここで注意が一つ。この問題では聞かれていませんが最大値、最小値はどこで生じるかということが問われた場合は
　t⇒ｘ
に戻して答えること。つまり

x=2 (t=4)でｙは最大値30をとる。
x=3(t=8)でｙは最小値14をとる。

が正解です。t=2^xは問題に書かれていないことで、自分で定めたことなのでxで記述する必要があります。

回答No.1

info222_

0≦x≦3 ⇒ 1≦2^x≦8
y=-(4^x)+2^(x+3)+14=-(2^x)^2+8(2^x)-16+30=-((2^x)-4)^2+30
したがって
2^x=4 (x=2)のとき最大値y=30　... (Ans.1)
4-1=3<8-4=4なので
2^x=8(x=3)のとき最小値y=14 ... (Ans.2)