二次元（面）の曲率と面積

質問

別の質問で一次元（線）の曲率に関して、教えてもらった者です。

一次元（線）においても、その曲率は正（＝円を描く）と負（＝双曲線を描く）があることを学びました。

次なる疑問は二次元（面）の曲率です。

面の中に含まれるX軸とy軸が直行しているとします。
x軸の曲率をa、軸の曲率をｂとします。

Case-1：a=正、かつb＝正の時、その面の曲率は正でしょうか？（正・誤）
Case-2：a=正、かつb＝負の時、その面の曲率は負でしょうか？（正・誤）
Case-3：a=負、かつb＝負の時、その面の曲率は正でしょうか？（正・誤）
Case-4：a=負、かつb＝正の時、その面の曲率は負でしょうか？（正・誤）

私の疑問は上記のCase-1とCase-3の相違です。

Case-1では、面の面積は有限（＝楕円体の表面積のようなもの）に成るような気がします。
一方、同じ曲率＝正のCase‐3の場合、その面の面積は無限になるのではないかと想像します。

つまり、二次元（面）の場合、曲率が正であっても、ケースによって、面の面積が無限になったり、有限になったりするのでしょうか？

高等学校レベルの数学しか理解していない素人向けに解説していただけると有り難いです。

どうぞよろしくお願いします。

回答No.2

178-tall

>曲率が変化しない（＝曲率一定）でも、局所的性質と大域的 (トポロジカルな) 性質が異なることがあるのでしょうか。

参考 URL などを見ると、「ガウス曲率一定の円柱面」があるらしい。

>それを解説するだけの能力はありません。
>悪しからず。

参考URL：

http://www.rs.kagu.tus.ac.jp/~koike/2010kiroku-kobayashi.pdf

お礼

有難うございました。

回答No.1

178-tall

>x軸の曲率をa、軸の曲率をｂとします。
>Case-1：a=正、かつb＝正の時、その面の曲率は正でしょうか？（正・誤）
>…

当方、門外漢ながら、感想に近いコメントだけでも … 。

>　…　二次元（面）の場合、曲率が正であっても、ケースによって、面の面積が無限になったり、有限になったりするのでしょうか？

これは、おそらく「ガウス曲率 (法曲率？) 」のハナシなのでしょうネ。
だとすると、局所的なハナシだけで済むハナシじゃなさそう。
その曲面がいわゆる「閉曲面」か否かを判断するには、大域的なサーベイを要するのでしょう。

より数学的に、ということなら、「ガウス・ボネの定理」など、局所的性質と大域的 (トポロジカルな) 性質との関係をさぐる手法を活用すべきでしょうが、それを解説するだけの能力はありません。
悪しからず。

参考 URL など、既にご覧でしたか？
まずは感触をつかもう、というのには適したエッセイですが … 。

参考URL：

http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~asuke/works/20041123.pdf

お礼

参考になる情報、有難うございました。

曲率が変化しない（＝曲率一定）でも、局所的性質と大域的 (トポロジカルな) 性質が異なることがあるのでしょうか。

「ガウス・ボネの定理」など調べてみます。

どうもありがとうございました。

補足

原子門にタイプミスがありましたので、この場で修正させてきただきます。

誤）x軸の曲率をa、軸の曲率をｂとします。
正）x軸の曲率をa、y軸の曲率をｂとします。