曲率について（急募です）

質問

放物線y=ax^2上の原点以外の点で、曲率の中心がy軸上にあるようなものが存在するための条件を求めよ。
・・・についてですが原点に接触する円が考えられたのですが条件を出せずにいます。
微分の使いどきが正直分かってません。
急募です!是非力を貸してください!

回答No.4

info22 · ベストアンサー

#3です。
曲率半径の円の中心(X,Y)の軌跡を求めて見ました。

27X^2=16a{Y-1/(2a)}^3
なお、曲線上の点(t,at^2)に対する曲率円の中心(X,Y)は
X=-4a^2t^3,Y=3at^2+{1/(2a)}
となります。

A#3でも触れたように曲率円の中心は放物線の原点における曲率円の中心(0,1/(2a))以外はY軸上に存在しませんね。

回答No.3

info22

＞放物線y=ax^2上の原点以外の点で、曲率の中心がy軸上にあるようなものが
＞存在するための条件を求めよ。
やってみましたが存在する条件はありませんね。
曲率半径の円の中心が接点に対してｙ軸の反対側にあるということです。
y軸上に円の中心がある条件で式を立てると接点の座標(t,at^2)はt=0(原点で放物線に接する円)以外実数tは残念ながら存在しません。（すべて虚根になる）
【参考】
tの方程式は以下のようになり
a^2t^2(1+2a^2t^2)(1+4a^2t^2)=0
これを満たすt≠0の実数が存在しませんね。
つまり曲率半径が大きくて円の中心はy軸を超えた接点と反対側にあるということですね。

回答No.2

zk43

私も公式は忘れたので本を見ると、直交座標(x,y)での曲率は
y’’／(1＋(y’)^2)^(3/2)
とあります。
（曲率の定義から計算してもたぶん簡単に出るでしょう。）
曲率半径は曲率の絶対値の逆数です。

回答No.1

zk43

x≠0として、放物線上の点(x,ax^2)と、点(x,ax^2)における法線とy軸
との交点との距離と、点(x,ax^2)における曲率半径が等しいとしてxに
関する方程式をつくって、これが実数解をもつようなaの条件を決めれ
ばよいと思います。

お礼

分かりやすい解き方をありがとうございます。
ただ誠に申し上げにくいんですが「点(x,ax^2)における曲率半径」っていうのが分かんないんです。その部分だけお願いできませんか?